Ángulos Internos y Externos de Polígonos
“La suma de ángulos de un polígono depende de 'en cuántos triángulos se divide'.”
La fórmula
(n − 2) × 180°Cómo leerla: suma todos los ángulos internos de un n-ágono y obtienes (n−2) veces 180°
- n
- — el número de lados (o vértices) del polígono
- n − 2
- — el número de triángulos en que se divide el polígono
- 180°
- — la suma de los ángulos internos de un triángulo
El gancho
Por más complejo que sea un polígono, la suma de sus ángulos internos queda fijada por un solo número — la cantidad de lados.
En palabras simples
Suma los ángulos internos de un n-ágono y obtienes (n−2) × 180°. Y los ángulos externos de un polígono convexo siempre suman 360°.
La intuición
Traza diagonales desde un vértice para dividir el polígono en triángulos. Un n-ágono se divide en (n−2) triángulos. Los ángulos internos de cada triángulo suman 180°, así que la suma interna total es 180° sumado (n−2) veces.
Cómo se construye
① Suma interna = número de triángulos (n−2) × 180°. ② Cada ángulo externo es el giro que haces en un vértice, así que sumados completan exactamente una vuelta completa = 360°. Ese 360° se mantiene sin importar cuántos lados tenga.
Ejemplo
Un pentágono (n=5) tiene una suma de ángulos internos de (5−2) × 180° = 3 × 180° = 540°. Si es regular, cada ángulo es 540° ÷ 5 = 108°.
Error común
Se suele suponer que la suma externa varía con el número de lados, pero para cualquier polígono convexo siempre es 360°. Además, es fácil confundir (n−2) con (n−1) o n.
Dónde se usa
Teselados (mosaicos), diseño de ángulos en balones de fútbol y arquitectura, cálculo del ángulo de un polígono regular — cualquier diseño donde los ángulos deban encajar.
De dónde viene
Se apoya en el hecho básico de Euclides de que los ángulos de un triángulo suman 180°, más la idea de dividir un polígono en triángulos.
Comprobación rápida
¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un hexágono (n=6)?
- 540°
- 720°✓
- 900°
- 1080°
Práctica
¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un octágono (n=8), en grados?
Respuesta: 1080
- (n−2) × 180° = (8−2) × 180°
- 6 × 180° = 1080°
Idea clave: Solo sustituye n en la fórmula — un octágono equivale a 6 triángulos.
¿Cuál es la medida de un ángulo interno de un pentágono regular, en grados?
Respuesta: 108
- Suma interna: (5−2) × 180° = 540°
- Un pentágono regular tiene cinco ángulos iguales: 540° ÷ 5 = 108°
Idea clave: Para un polígono regular, divide la suma interna entre el número de lados.
¿Cuál es un ángulo externo de un dodecágono regular? Primero escribe en tu libreta cuánto suman siempre los ángulos externos.
Respuesta: 30
- Los ángulos externos de un polígono convexo siempre suman 360°
- Un dodecágono regular tiene ángulos externos iguales: 360° ÷ 12 = 30°
Idea clave: Los ángulos externos son más fáciles — siempre suman 360°, así que solo divide entre la cantidad.