Factorización en primos
“La factorización en primos descompone un número en sus Legos primos.”
La fórmula
N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖCómo leerla: escribir un número solo como producto de primos que ya no se pueden descomponer más
- N
- — el número entero que quieres factorizar
- p₁, p₂, …, pₖ
- — los factores primos — primos como 2, 3, 5, 7 que no se dividen más
- a₁, a₂, …, aₖ
- — cuántas veces se multiplica cada primo (el exponente)
El gancho
Todo número entero se construye, de una única manera, a partir de unos pocos 'ladrillos Lego' primos multiplicados entre sí.
En palabras simples
Un solo número descompuesto en un producto de solo primos — 2, 3, 5, 7, etcétera.
La intuición
Sigue dividiendo un número entre 2, luego entre 3, y así sucesivamente, hasta que solo queden primos indivisibles. Esos son los 'ingredientes' del número. La lista de ingredientes es única para cada número — esto es la unicidad de la factorización en primos.
Cómo se construye
Divide entre 2 mientras puedas, luego entre 3, luego entre 5, y así sucesivamente. Sigue dividiendo cada cociente hasta llegar a 1. Cuando el mismo primo aparece varias veces, agrúpalo en un exponente.
Ejemplo
Divide 60: 60÷2=30, 30÷2=15, 15÷3=5, 5÷5=1. Entonces 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.
Error común
1 no es primo, así que nunca aparece en una factorización. Y números como 4 o 6, que aún se pueden dividir más, no pueden ser factores primos.
Dónde se usa
Contar divisores, hallar el MCD y el mcm, simplificar fracciones — es el punto de partida de casi todo cálculo sobre la estructura de los números.
De dónde viene
El hecho de que 'todo número es un producto único de primos' se llama el teorema fundamental de la aritmética, y sus raíces ya están en los Elementos de Euclides.
Comprobación rápida
¿Cuál de estas es la factorización en primos correcta de 12?
- 2 × 6
- 2² × 3✓
- 3 × 4
- 2 × 3²
Práctica
Factoriza 36 en primos (agrupa las repeticiones en exponentes).
Respuesta: undefined
- 36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9
- 9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1
- 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
Idea clave: Divide entre los primos más pequeños en orden hasta llegar a 1.
¿Qué número es 2³ × 5?
Respuesta: 40
- 2³ = 8
- 8 × 5 = 40
Idea clave: Multiplica de nuevo los factores primos y obtienes el número original.
¿Cuántos factores primos DISTINTOS tiene 90?
Respuesta: 3
- 90 = 2 × 45 = 2 × 3² × 5
- Los primos distintos son 2, 3, 5
- → 3 de ellos
Idea clave: Un primo repetido sigue contando como un solo tipo distinto.
Factoriza 84 en primos.
Respuesta: undefined
- 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21
- 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1
- 84 = 2² × 3 × 7
Idea clave: Si 2 ya no divide, pasa a 3, 5, 7, y así sucesivamente.