Conjuntos y diagramas de Venn
“Una unión es 'súmalos, luego resta la superposición una vez'.”
La fórmula
n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)Cómo leerla: el tamaño de la unión es la suma de los tamaños de cada conjunto, menos la superposición contada una vez
- A∪B
- — la unión — todo elemento en A o en B
- A∩B
- — la intersección — los elementos que están tanto en A como en B
- n(A)
- — el número de elementos del conjunto A
El gancho
Cuando cuentas A y B juntos, no puedes simplemente sumar — eso cuenta la superposición dos veces.
En palabras simples
El tamaño de la unión es la suma de los tamaños de los dos conjuntos, menos la superposición (la intersección) restada exactamente una vez.
La intuición
Imagina un diagrama de Venn de dos círculos que se superponen. Si simplemente sumas los dos círculos, has contado dos veces el centro superpuesto. Réstalo una vez y obtienes la cantidad 'combinada' real.
Cómo se construye
Contar A con n(A) y B con n(B) cuenta la intersección una vez desde cada lado — dos veces en total. Para dejarla contada solo una vez, restas n(A∩B).
Ejemplo
En una clase, a 18 estudiantes les gusta el fútbol, a 12 el baloncesto, y a 5 les gustan ambos, así que el número a los que les gusta al menos uno es 18+12−5 = 25.
Error común
Es fácil olvidar o contar dos veces el grupo de 'ambos'. La superposición se suma dos veces, así que debe restarse una vez.
Dónde se usa
Recuento de encuestas, clasificación de datos, la regla de la suma en probabilidad, filtros de búsqueda (Y/O) — en cualquier lugar donde cuentes grupos que se superponen.
De dónde viene
Fue Cantor en el siglo XIX quien convirtió los 'conjuntos' en un lenguaje fundamental de las matemáticas, y John Venn quien popularizó dibujar la superposición como círculos.
Comprobación rápida
Si n(A)=10, n(B)=7, y n(A∩B)=3, ¿cuánto es n(A∪B)?
- 14✓
- 17
- 20
- 3
Práctica
Si n(A)=8, n(B)=6, y n(A∩B)=2, halla n(A∪B).
Respuesta: 12
- Fórmula: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
- 8+6−2 = 12
Idea clave: No olvides restar la superposición (la intersección) una vez.
En una clase de 30, 14 estudiantes tienen perro, 10 tienen gato, y 4 tienen ambos. ¿Cuántos tienen perro o gato?
Respuesta: 20
- 'perro o gato' = la unión
- 14+10−4 = 20
Idea clave: 'O' significa la unión — resta la superposición de 'ambos' una vez.
Si n(A)=9, n(B)=5, y n(A∪B)=11, ¿cuál es la intersección n(A∩B)?
Respuesta: 3
- Reordena la fórmula: n(A∩B)=n(A)+n(B)−n(A∪B)
- 9+5−11 = 3
Idea clave: Invierte la misma fórmula y también puedes hallar la intersección.
De 40 personas, a 22 les gustan las matemáticas, a 18 el inglés, y a 8 ambos. En tu libreta, calcula cuántos no gustan de ninguno.
Respuesta: undefined
- A quienes les gusta al menos uno (la unión) = 22+18−8 = 32
- A quienes no les gusta ninguno = total − unión = 40 − 32 = 8
Idea clave: Total menos la unión da la región de 'ninguno' fuera de ambos círculos.