Proposiciones: verdadero o falso
“Una afirmación y su contrapositiva viajan juntas — la recíproca no.”
La fórmula
(p → q) ≡ (~q → ~p)Cómo leerla: 'si p entonces q' y su contrapositiva 'si no q entonces no p' siempre comparten el mismo valor de verdad
- p → q
- — 'si p entonces q' — un condicional (la afirmación original)
- ~p
- — la negación de p — 'no p'
- ≡
- — las dos afirmaciones siempre tienen el mismo valor de verdad
El gancho
En matemáticas una 'proposición' no es un sentimiento ni una opinión — solo cuenta una oración que resulta definitivamente verdadera o falsa.
En palabras simples
Una proposición es una oración que puedes juzgar claramente como verdadera o falsa. Un condicional como 'si p entonces q' siempre comparte el mismo valor de verdad que su contrapositiva.
La intuición
Si 'si llueve, el suelo se moja' es verdadero, entonces la afirmación invertida 'si el suelo no está mojado, no llovió' también debe ser verdadera. Es el mismo hecho contado desde el otro lado, así que sus valores de verdad viajan juntos.
Cómo se construye
Una proposición toma exactamente dos valores, verdadero o falso. La negación (~) invierte ese valor. En el condicional 'p→q', negar tanto p como q e invertir la dirección da la contrapositiva '~q→~p', y la original y su contrapositiva siempre comparten el mismo valor de verdad.
Ejemplo
'si x=2 entonces x²=4' es verdadero. Su contrapositiva 'si x²≠4 entonces x≠2' también es verdadera. Pero la recíproca 'si x²=4 entonces x=2' es falsa, ya que x=−2 es un contraejemplo.
Error común
Que una afirmación sea verdadera no hace verdadera a su recíproca. 'x=2 → x²=4' es verdadera, pero la recíproca 'x²=4 → x=2' es falsa (x=−2). Lo que comparte la verdad es la contrapositiva, no la recíproca.
Dónde se usa
Toda demostración y argumento lógico en matemáticas, las condiciones en un programa (if), la lectura de cláusulas legales y contratos — en cualquier lugar donde se pese 'verdadero o falso'.
De dónde viene
La lógica que trata las proposiciones rigurosamente como objetos verdadero-o-falso se remonta a Aristóteles, y en el siglo XIX Boole la transformó en una forma que se puede calcular, como el álgebra.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál de las siguientes es una 'proposición'?
- 3 es un número par✓
- este cuadro es hermoso
- cierra la ventana
- x+1
Práctica
¿Cuál de las siguientes es una 'proposición' — algo que puedas juzgar como verdadero o falso?
Respuesta: 0
- Una proposición = una oración con un valor de verdad definido
- '7 es un número primo' es una proposición verdadera
- Las opiniones, preguntas y palabras sueltas no se pueden juzgar como verdaderas o falsas, así que no son proposiciones
Idea clave: Una proposición debe poder juzgarse como verdadera/falsa — las opiniones, órdenes y preguntas quedan fuera.
¿Es verdadera o falsa la proposición '5 es mayor que 3'? Luego escribe su negación en tu libreta.
Respuesta: undefined
- '5 es mayor que 3' es verdadera
- Negación: '5 no es mayor que 3' → es decir, '5 ≤ 3', que es falsa
- La negación invierte el valor de verdad de la original
Idea clave: La negación convierte verdadero en falso y falso en verdadero.
La afirmación 'si es equilátero, entonces es isósceles' es verdadera. ¿Cuál de las siguientes también debe ser verdadera?
Respuesta: 1
- Si la original es verdadera, su contrapositiva también debe serlo
- Contrapositiva: 'si no es isósceles, entonces no es equilátero' → verdadera
- La recíproca 'si isósceles entonces equilátero' puede ser falsa
Idea clave: Solo la contrapositiva tiene garantizado compartir la verdad — la recíproca debe comprobarse por separado.
¿Es verdadera 'si x²=9 entonces x=3'? Si no, anota un contraejemplo en tu libreta.
Respuesta: undefined
- Si x²=9 entonces x=3 o x=−3
- x=−3 da x²=9 pero x≠3 → existe un contraejemplo
- Así que la afirmación es falsa
Idea clave: Un solo contraejemplo basta para derribar una proposición.