La ley de los grandes números
“La ley de los grandes números: una prueba es suerte, pero el promedio de muchas es ley.”
La fórmula
x̄ₙ = (X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ) / n → μ (n → ∞)Cómo leerla: el promedio de los valores al repetir el mismo experimento muchas veces se acerca al valor esperado teórico μ conforme crece el número de pruebas
- Xᵢ
- — el resultado de la i-ésima prueba
- x̄ₙ
- — la media muestral de n pruebas
- n
- — el número de pruebas—cuanto mayor, más estable
- μ
- — el valor esperado teórico (la media verdadera)
El gancho
Diez lanzamientos de moneda pueden ser muy variables, pero lanza diez mil veces y la fracción de caras se acerca a 0.5—el azar domado en estadística.
En palabras simples
La ley de los grandes números dice que si repites el mismo experimento aleatorio muchas veces, el promedio de los resultados se acerca cada vez más al valor esperado teórico μ. Los resultados individuales siguen siendo impredecibles, pero el promedio se vuelve predecible.
La intuición
Un solo evento aleatorio fluctúa. Pero acumula miles de ellos y promedia, y las subidas cancelan las bajadas, dejando solo el valor verdadero. Conforme crece la muestra, la influencia de cualquier evento afortunado se desvanece como 1/n—así que el promedio 'olvida la suerte' y se asienta en el valor esperado.
Cómo se construye
Dos piezas—la media muestral x̄ₙ y la media verdadera μ. La ley dice que su diferencia tiende a 0 conforme crece n. ¿Por qué? Porque la variación (desviación estándar) de la media muestral se reduce como σ/√n. Multiplica n por 100 y la variación se reduce por 10. Lanza para siempre y la variación desaparece, fijando el promedio en μ.
Ejemplo
Una moneda justa en 10 lanzamientos podría caer 7 caras (razón 0.7)—no es raro. Pero en 10,000 lanzamientos las caras se agrupan cerca de 5,000 (razón ≈ 0.500). Lo mismo para un dado—el promedio de muchas tiradas converge a (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5.
Error común
Cuidado con la falacia del jugador. Cinco caras seguidas no hace que salga cruz 'por obligación'. Cada lanzamiento sigue siendo 50:50. La razón se asienta en 0.5 no porque el pasado se 'compense', sino porque el enorme número de pruebas futuras 'diluye' el desequilibrio inicial.
Dónde se usa
Seguros (las tasas de pérdida en muchas pólizas son predecibles), la ventaja de la casa en un casino, encuestas de opinión, simulación de Monte Carlo, control de calidad, toda estimación estadística que se apoya en muestras grandes—se usa en cualquier lugar donde el conjunto es predecible aunque el individuo no lo sea.
De dónde viene
Jacob Bernoulli la demostró en su obra póstuma de 1713 Ars Conjectandi y la llamó su 'teorema dorado'. Fue la primera vez que las matemáticas demostraron el orden escondido dentro del azar.
Requisitos previos
Comprobación rápida
Una moneda justa acaba de caer cara cinco veces seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente lanzamiento sea cara?
- mucho menos de 0.5
- 0.5✓
- mucho más de 0.5
- 0
Práctica
Al lanzar un dado justo muchas veces, ¿a qué valor converge el promedio de las tiradas?
Respuesta: 3.5
- valor esperado = (1+2+3+4+5+6)/6
- = 21/6 = 3.5
Idea clave: La media muestral converge al valor esperado μ.
Tras muchísimos lanzamientos de una moneda justa, ¿a qué valor converge la fracción de caras?
Respuesta: 0.5
- la probabilidad de cara es 1/2
- así que la fracción converge a 0.5
Idea clave: La fracción a largo plazo es igual a la probabilidad del evento.
Tras cuatro caras seguidas, halla la probabilidad de que el siguiente lanzamiento de una moneda justa sea cara.
Respuesta: 0.5
- cada lanzamiento es independiente—no le afecta el pasado
- la probabilidad sigue siendo 0.5
Idea clave: La falacia del jugador—una moneda no tiene memoria.
Explica con la ley de los grandes números por qué un casino gana a largo plazo aunque aparezcan grandes ganadores individuales.
Respuesta: undefined
- cada juego tiene un pequeño valor esperado a favor de la casa (la ventaja de la casa)
- una ronda fluctúa—un jugador puede ganar mucho
- en millones de rondas el promedio converge a la ventaja de la casa, así que el casino gana
Idea clave: Una pequeña ventaja multiplicada por grandes números es ganancia segura.