Funciones trigonométricas
“Las funciones trigonométricas son la altura y el ancho de un punto que gira.”
La fórmula
sin²θ + cos²θ = 1Cómo leerla: en el círculo unitario, la coordenada vertical de un punto es sinθ y la horizontal es cosθ, y sus cuadrados siempre suman 1
- sinθ
- — la coordenada vertical (altura) del punto en el círculo unitario
- cosθ
- — la coordenada horizontal (base) del punto en el círculo unitario
- tanθ
- — sinθ/cosθ: la pendiente de la recta hacia ese punto
El gancho
Las funciones trigonométricas son en realidad 'la sombra de un punto que gira alrededor de un círculo': das un ángulo y obtienes una altura (sin) y un ancho (cos).
En palabras simples
En un círculo de radio 1, tras girar un ángulo θ, la posición vertical del punto es sinθ y su posición horizontal es cosθ. tanθ es su razón.
La intuición
Gira una regla de radio 1 alrededor del origen un ángulo θ. La altura de la punta es sin, y cuánto se desplazó hacia el lado es cos. A medida que θ crece, el punto da la vuelta y ambos valores oscilan entre −1 y 1, por eso las funciones trigonométricas se convierten en ondas.
Cómo se construye
Las coordenadas del punto son (cosθ, sinθ). Como está sobre el círculo de radio 1, por Pitágoras (horizontal)²+(vertical)² = 1², es decir, sin²θ+cos²θ=1. Toda identidad trigonométrica se deriva de este único círculo.
Ejemplo
En θ=30°, sin30°=1/2 y cos30°=√3/2. Comprueba: (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1. La identidad se cumple exactamente.
Error común
sin²θ significa (sinθ)², no sin(θ²). Y sin(A+B) ≠ sinA + sinB: no puedes simplemente distribuir sobre el ángulo interior.
Dónde se usa
Ondas de sonido, luz y corriente; el vaivén de péndulos y resortes; el movimiento circular; medir distancias por triangulación: las matemáticas de todo lo que gira y oscila.
De dónde viene
'Seno' se remonta a la palabra sánscrita para cuerda de arco (jya), mal traducida a través del árabe al latín sinus ('bahía, curva'), y el nombre quedó fijado.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuánto es sin 30°?
- 1/2✓
- √3/2
- 1
- 0
Práctica
Encuentra sin 90°.
Respuesta: 1
- 90° es la parte superior del círculo, el punto (0,1)
- La coordenada vertical es 1 → sin 90° = 1
Idea clave: Sin es la 'altura' del punto en el círculo.
Encuentra cos 60°.
Respuesta: 0.5
- La coordenada horizontal en 60°
- cos 60° = 1/2 = 0.5
Idea clave: Cos es el 'ancho' del punto en el círculo.
Encuentra tan 45°.
Respuesta: 1
- tan 45° = sin45°/cos45° = (√2/2)/(√2/2)
- = 1
Idea clave: En 45° la altura es igual al ancho, así que la pendiente es 1.
Verifica mediante el cálculo que sin²θ + cos²θ = 1 se cumple en θ=30°.
Respuesta: undefined
- sin30°=1/2, cos30°=√3/2
- (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4
- = 1
Idea clave: Esta identidad es el teorema de Pitágoras aplicado al círculo de radio 1.