MCD y MCM
“El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo viajan en pareja.”
La fórmula
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × bCómo leerla: el máximo común divisor por el mínimo común múltiplo es igual al producto de los dos números
- GCD(a, b)
- — máximo común divisor — el número más grande que divide a ambos
- LCM(a, b)
- — mínimo común múltiplo — el número más pequeño que es múltiplo de ambos
- a × b
- — el producto de los dos números mismos
El gancho
'El número más grande que divide a ambos' y 'el número más pequeño que ambos alcanzan' — estos dos en realidad se mueven en pareja.
En palabras simples
El MCD es el número más grande que divide a ambos; el MCM es el número más pequeño que es múltiplo de ambos — el primer lugar donde sus múltiplos se superponen.
La intuición
La factorización prima lo aclara todo. El MCD reúne solo los primos que ambos números comparten; el MCM reúne cada primo que aparece en cualquiera de los dos. Por eso multiplicarlos devuelve el producto de los dos números.
Cómo se construye
12=2²×3, 18=2×3². Toma solo el mínimo compartido → MCD=2×3=6. Toma el máximo de cada primo → MCM=2²×3²=36. Comprueba: 6×36=216=12×18.
Ejemplo
8 y 12: 8=2³, 12=2²×3. La parte compartida 2²=4 es el MCD. Tomando todo generosamente, 2³×3=24, es el MCM. Y 4×24=96=8×12 se cumple.
Error común
El MCD no puede superar al número más pequeño, y el MCM no puede ser menor que el más grande. Recordar MCD ≤ menor ≤ mayor ≤ MCM evita errores.
Dónde se usa
Simplificar fracciones (MCD) y encontrar denominadores comunes (MCM), cuándo vuelven a alinearse unos engranajes, o repartir objetos en partes iguales sin que sobre nada — los problemas de la vida real usan todo esto.
De dónde viene
El 'algoritmo de Euclides' para hallar rápidamente el MCD aparece en los Elementos alrededor del 300 a. C. — el algoritmo más antiguo que todavía usan las computadoras hoy.
Requisitos previos
Comprobación rápida
¿Cuál es el máximo común divisor de 12 y 18?
- 2
- 3
- 6✓
- 36
Práctica
¿Cuál es el MCD de 8 y 12?
Respuesta: 4
- 8 = 2³, 12 = 2² × 3
- Primo compartido en su mínimo: 2² = 4
Idea clave: El MCD toma solo los primos compartidos, en su potencia mínima.
¿Cuál es el MCM de 4 y 6?
Respuesta: 12
- 4 = 2², 6 = 2 × 3
- Cada primo en su máximo: 2² × 3 = 12
Idea clave: El MCM reúne cada primo, en su potencia máxima.
¿Cuál es el MCD de 15 y 25?
Respuesta: 5
- 15 = 3 × 5, 25 = 5²
- Primo compartido: 5 → MCD = 5
Idea clave: Si solo hay un primo compartido, ese es el MCD.
Sabiendo que el MCD de 12 y 18 es 6, usa MCD×MCM=a×b para hallar el MCM.
Respuesta: undefined
- MCD × MCM = a × b → 6 × MCM = 12 × 18 = 216
- MCM = 216 ÷ 6
- MCM = 36
Idea clave: Una vez que conoces el MCD, una multiplicación y una división dan el MCM.