सर्वांगसम त्रिभुज
“सिर्फ तीन शर्तें मिलाइए और दोनों त्रिभुज एक जैसे हो जाते हैं।”
सूत्र
△ABC ≅ △DEFकैसे पढ़ें: त्रिभुज ABC और DEF सर्वांगसम हैं — आकार और साइज़ में बिल्कुल समान, इसलिए एक-दूसरे पर पूरी तरह ओवरलैप होते हैं
- ≅
- — सर्वांगसमता का चिह्न — एक को दूसरे पर बिल्कुल रखा जा सकता है
- △ABC, △DEF
- — दोनों त्रिभुज, मेल खाते (corresponding) शीर्षों के क्रम में लिखे गए
शुरुआत
आपको सभी तीन भुजाएँ और सभी तीन कोण नापने की ज़रूरत नहीं — सिर्फ तीन चीज़ें मिलाइए और दोनों त्रिभुज पूरी तरह एक जैसे हो जाते हैं।
सरल शब्दों में
दो त्रिभुज सर्वांगसम होने का मतलब है कि आप एक को घुमाकर या पलटकर दूसरे पर बिल्कुल ठीक बैठा सकते हैं। हर corresponding भुजा और कोण बराबर होता है।
अंतर्ज्ञान
त्रिभुज एक 'ज़िद्दी' आकृति है। तीन भुजाओं की लंबाई तय कर दो तो उसका आकार एक ही रूप में जम जाता है, जो हिल नहीं सकता (इसीलिए पुलों और मीनारों के ढाँचों में इसका इस्तेमाल होता है)। यह तीन तरीकों से जमता है, इसलिए सर्वांगसमता के तीन टेस्ट हैं।
कैसे बनता है
तीन टेस्ट — SSS (तीन भुजाएँ), SAS (दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण), ASA (एक भुजा और उसके दोनों सिरों के कोण)। इनमें से कोई एक कन्फर्म कर दो, बाकी अपने आप सिद्ध हो जाते हैं। कुंजी है स्थिति — 'बीच का कोण', 'सिरों के कोण'।
उदाहरण
अगर दो भुजाएँ 5cm और 7cm हैं और दोनों में बीच का कोण 60° बराबर है (SAS), तो बिना कुछ और नापे त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
आम ग़लतफ़हमी
लगता है कि तीन कोण बराबर होने का मतलब सर्वांगसम होना चाहिए, लेकिन नहीं — AAA 'समरूप (similar)' देता है, सर्वांगसम नहीं, क्योंकि आकार मेल खा सकता है पर साइज़ अलग हो सकता है। साथ ही SSA (जो कोण बीच में नहीं है) दो अलग त्रिभुज दे सकता है, इसलिए यह सर्वांगसमता का टेस्ट नहीं है।
कहाँ उपयोग होता है
ज्यामितीय प्रमाणों का मूल औज़ार, और surveying, drafting, part specifications की नींव — जहाँ भी 'बिल्कुल एक जैसी कॉपी बनानी या जाँचनी' हो।
कहाँ से आया
यूक्लिड के Elements में ही SAS, ASA, और SSS को सर्वांगसमता की शर्तों के रूप में रखा गया था, और दो हज़ार साल से ये ज्यामितीय प्रमाण की शुरुआत रहे हैं।
त्वरित जाँच
इनमें से कौन-सी त्रिभुज सर्वांगसमता की शर्त नहीं है?
- तीन भुजाएँ बराबर (SSS)
- दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर (SAS)
- तीन कोण बराबर (AAA)✓
- एक भुजा और उसके दोनों सिरों के कोण बराबर (ASA)
अभ्यास
दो त्रिभुजों में दो भुजाएँ 4 और 6 के बराबर हैं, और उनके बीच का कोण भी बराबर है। यह कौन-सी सर्वांगसमता शर्त है?
उत्तर: 1
- क्या बराबर है: side-angle-side (दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण)
- यह व्यवस्था ठीक SAS है
मुख्य बात: जब कोण दोनों भुजाओं के 'बीच में' हो, तो यह SAS है।
क्या तीन बराबर कोणों वाले दो त्रिभुज ज़रूर सर्वांगसम होंगे? अगर नहीं, तो अपनी नोटबुक पर लिखें कि वे क्या हैं।
उत्तर: undefined
- बराबर कोण साइज़ को बराबर नहीं बनाते
- उदाहरण: एक छोटा समबाहु त्रिभुज और एक बड़ा — सभी कोण 60° हैं, पर साइज़ अलग है
- इसलिए वे समरूप (similar) हैं, सर्वांगसम नहीं
मुख्य बात: बराबर कोण आकार तय करते हैं पर साइज़ को स्वतंत्र छोड़ देते हैं — यही समरूपता है।
क्या एक बराबर भुजा और उसके दोनों सिरों के बराबर कोणों वाले दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं? शर्त का नाम भी बताएँ।
उत्तर: undefined
- एक भुजा और उसके दोनों सिरों के कोण तय कर दें तो त्रिभुज पूरी तरह निश्चित हो जाता है
- यह ASA शर्त है
- तो हाँ, वे सर्वांगसम हैं
मुख्य बात: एक भुजा और उसके दोनों सिरों के कोण (ASA) ठीक एक त्रिभुज को तय कर देते हैं।