गणित की अवधारणाएँ
एक बार में एक सूत्र — सरल अर्थ, अंतर्ज्ञान, और यह कहाँ से आया।
संख्याएँ और संक्रियाएँ
21 अवधारणाएँस्थानीय मान
किसी अंक का मान इस पर निर्भर करता है कि वह किस स्थान पर है।
भिन्न क्या है
एक ऐसी संख्या जो बताती है कि पूरे को कितने बराबर हिस्सों में काटा गया है (हर) और आपके पास कितने हैं (अंश)।
दशमलव क्या है
एक संख्या जो एक (1) से छोटे हिस्से लिखने के लिए बिंदु (दशमलव बिंदु) के दाईं ओर स्थान जोड़ती है।
a/c ± b/c = (a ± b)/cभिन्नों का जोड़ और घटाव
जब टुकड़े एक ही आकार के हों (हर समान हो), तो बस टुकड़ों की संख्या (अंश) जोड़ें या घटाएं।
गुणा और भाग
गुणा एक ही संख्या को बार-बार जोड़ना है; भाग बराबर बाँटना या समूहों की संख्या गिनना है।
a : b = a ÷ bअनुपात और दर
अनुपात दो मात्राओं की तुलना 'यह से वह' के रूप में करता है; दर उसे भाग देकर एक संख्या में बदल देती है।
p = (a ÷ b) × 100प्रतिशत
एक संख्या जो बताती है कि पूर्ण को 100 मानने पर भाग कितना होगा। % चिह्न का मतलब है '100 में से'।
N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖअभाज्य गुणनखंडन
एक संख्या को केवल अभाज्य संख्याओं — 2, 3, 5, 7 और आगे — के गुणनफल में तोड़ना।
संख्या रेखा पर पूर्णांक
धनात्मक पूर्णांक, 0, और ऋणात्मक पूर्णांक — सबको एक ही रेखा पर क्रम से रखा जाता है। बड़ी संख्या दाईं ओर, छोटी संख्या बाईं ओर।
|a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0)निरपेक्ष मान
कोई संख्या 0 से कितनी दूर है। दिशा (चिह्न) को छोड़ दें और सिर्फ़ दूरी रखें।
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)परिमेय संख्याओं का अंकगणित
पूर्णांकों और भिन्नों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने, और भाग देने के नियम। कुंजी है पहले चिह्न तय करना, फिर आकार निकालना।
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿघातांक के नियम
एक घात वही संख्या है जिसे कई बार गुणा किया गया हो। इन्हें गुणा या भाग करें, तो आप बस घातांकों को जोड़ या घटाते हैं।
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)वर्गमूल
जब किसी संख्या का वर्ग a मिलता है, तो वह संख्या a का वर्गमूल है। √a वह है जो 0 या धनात्मक हो।
अपरिमेय एवं वास्तविक संख्याएँ
जिन संख्याओं को भिन्न (पूर्णांक/पूर्णांक) के रूप में लिखा जा सकता है, वे परिमेय (rational) हैं; जिन्हें नहीं लिखा जा सकता, वे अपरिमेय (irrational) हैं। दोनों मिलकर वास्तविक संख्याएँ (real numbers) बनाती हैं।
0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99आवर्ती दशमलव
ऐसा दशमलव जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों का एक ही खंड हमेशा दोहराता रहे। इसे हमेशा वापस भिन्न में बदला जा सकता है।
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × bम.स.प. और ल.स.प.
म.स.प. वह सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों को विभाजित करती है; ल.स.प. वह सबसे छोटी संख्या है जो दोनों की गुणज है — जहां उनकी गुणज पहली बार मिलती हैं।
i² = −1, z = a + biसम्मिश्र संख्याएँ
एक नई संख्या i लाएँ जिसका वर्ग −1 हो, और हर संख्या को a+bi के रूप में लिखा जा सकता है, एक वास्तविक भाग a जमा एक काल्पनिक भाग bi। यही सम्मिश्र संख्या है।
(G, ∗): ① a∗b ∈ G ② (a∗b)∗c = a∗(b∗c) ③ a∗e = e∗a = a ④ a∗a⁻¹ = eसमूह: सममिति की भाषा
एक समूह एक समुच्चय और एक संक्रिया है, जहां संक्रिया चार नियमों का पालन करती है: (1) परिणाम कभी बाहर नहीं जाता (संवृतता), (2) समूहीकरण मायने नहीं रखता (साहचर्यता), (3) एक कुछ-न-करने वाला तत्समक होता है, और (4) हर अवयव का एक प्रतिलोम होता है जो उसे पलट देता है।
a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b)मॉड्यूलर अंकगणित
मॉड्यूलर अंकगणित वह अंकगणित है जो किसी संख्या n के बाद वापस 0 पर लपट जाता है। दो संख्याएँ 'सर्वांगसम' कहलाती हैं अगर n से भाग देने पर उनका शेषफल बराबर हो, इसे a ≡ b (mod n) लिखा जाता है। केवल शेषफल मायने रखता है।
e^(iθ) = cos θ + i sin θ, e^(iπ) + 1 = 0सम्मिश्र तल और यूलर का सूत्र
किसी सम्मिश्र संख्या a+bi को तल में एक बिंदु (या तीर) के रूप में देखें, तो आपको सम्मिश्र तल मिलता है। यूलर का सूत्र e^(iθ)=cos θ+i sin θ कहता है कि सम्मिश्र घातांकी e^(iθ) एकांक वृत्त पर कोण θ से घुमाया गया बिंदु है। संक्षेप में: एक काल्पनिक घातांक का मतलब है घुमाव।
|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀ < |ℝ|गणनीय अनंत (Countable Infinity)
अगर किसी अनंत समुच्चय के सभी अवयवों को 1,2,3,… क्रम में गिना जा सके, कोई छूटे नहीं, तो वह 'गणनीय अनंत' है। प्राकृत संख्याएँ, पूर्णांक, और परिमेय संख्याएँ — सब इसमें आते हैं। फिर भी वास्तविक संख्याओं को इस तरह गिनना सैद्धांतिक रूप से भी संभव नहीं है — वे बड़ा अनंत हैं।
बीजगणित
18 अवधारणाएँ2x + 3चर और व्यंजक
'किसी संख्या को दुगुना करो और 3 जोड़ो' को अक्षर x के साथ संक्षेप में 2x+3 लिखा गया।
ax + b = 0 → x = −b/aरैखिक समीकरण
एक समता (equality) जो x के ठीक एक मान के लिए सत्य होती है। उस मान को खोजना ही 'समीकरण हल करना' कहलाता है।
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂रैखिक समीकरणों का निकाय
दोनों अज्ञातों को एक साथ संतुष्ट करने वाला एक जोड़ा (x, y) खोजना। उत्तर को एक ही बिंदु तक सीमित करने के लिए आपको दो समीकरणों की ज़रूरत होती है।
ax + b > 0रैखिक असमिकाएँ
एक कथन जो बताता है कि x किसी चीज़ से बड़ा या छोटा है। उत्तर एक संख्या नहीं, एक 'परिसर' होता है।
y = ax + bरैखिक फलन और उनके ग्राफ
एक नियम जिसमें x डालने पर y = 'a गुणा x जमा b' निकलता है। इसका ग्राफ बनाने पर हमेशा एक सीधी रेखा मिलती है।
(a + b)² = a² + 2ab + b²गुणन सर्वसमिकाएँ
(a+b)², a²+b² नहीं है; बीच में एक 2ab घुस जाता है, जिससे यह a²+2ab+b² बनता है।
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)गुणनखंडन
x²+5x+6 जैसी किसी चीज़ को (x+2)(x+3) जैसे 'दो व्यंजकों के गुणनफल' में बदलना। यह विस्तार की ठीक उल्टी प्रक्रिया है।
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)द्विघात समीकरण
x² वाला एक समीकरण, ax²+bx+c=0। इसके अधिकतम दो हल होते हैं, और a, b, c को द्विघात सूत्र में डालने से वे हमेशा मिल जाते हैं।
y = a(x − p)² + qद्विघात फलन
y = a(x−p)² + q। ग्राफ एक परवलय है, और शीर्ष (p, q) इसकी 'नुकीली नोक' है (सबसे ऊँचा या सबसे नीचा बिंदु)।
y = aˣ ⇔ x = logₐ yघातांकीय और लघुगणकीय फलन
aˣ, a को खुद से x बार गुणा करता है; logₐ y पूछता है 'y तक पहुंचने के लिए a को कितनी बार गुणा करना होगा?'। घातांक और लघुगणक एक-दूसरे को पलट देते हैं।
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹समान्तर और गुणोत्तर श्रेणी
समान्तर श्रेणी हर बार पिछले पद में एक स्थिर संख्या d जोड़ती है; गुणोत्तर श्रेणी हर बार पिछले पद को एक स्थिर संख्या r से गुणा करती है।
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2सिग्मा नोटेशन और श्रेणी
Σ एक आदेश है: 'नीचे वाले मान से ऊपर वाले मान तक डालो और सबको जोड़ दो'। Σₖ₌₁ⁿ k, 1 से n तक का जोड़ है।
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼआव्यूह (Matrices)
आव्यूह संख्याओं को पंक्तियों और स्तंभों में सजाता है। दो आव्यूहों को गुणा करने के लिए, आप 'बाएँ की पंक्ति' को 'दाएँ के स्तंभ' के साथ जोड़ी बनाकर गुणा करते हैं और जोड़ते हैं।
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏद्विपद प्रमेय
जब आप (a+b)ⁿ को फैलाते हैं, तो हर पद का गुणांक ₙCₖ होता है — यानी n कोष्ठकों में से k में से b चुनने के तरीकों की संख्या।
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)रैखिक रूपांतरण (Linear Transformations)
रैखिक रूपांतरण तल (या समष्टि) के हर बिंदु को हिलाता है, जबकि ग्रिड रेखाओं को सीधा, समान दूरी पर, और मूल बिंदु (origin) को स्थिर रखता है। इस व्यवस्थित गति को एक अकेला आव्यूह पूरी तरह पकड़ लेता है।
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर (Eigenvalues & Eigenvectors)
ट्रांसफ़ॉर्मेशन A लगाने पर ज़्यादातर सदिशों की दिशा बदल जाती है। पर कुछ खास सदिश v अपनी दिशा बनाए रखते हैं और सिर्फ़ एक गुणक λ से scale होते हैं। ऐसा v एक eigenvector है, और गुणक λ उसका eigenvalue है।
u, v ∈ V, a, b ∈ ℝ ⟹ a·u + b·v ∈ Vसदिश समष्टि
सदिश समष्टि एक ऐसा समुच्चय है जिसके अवयव जोड़ने या किसी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर कभी बाहर नहीं निकलते। इन दोनों संक्रियाओं को बस कुछ स्वाभाविक नियमों का पालन करना होता है।
det([[a, b], [c, d]]) = ad − bcसारणिक (Determinant)
2×2 आव्यूह [[a,b],[c,d]] का सारणिक ad − bc है। यह संख्या बताती है कि यह आव्यूह किसी भी आकृति के क्षेत्रफल को किस गुणक (factor) से scale करता है।
ज्यामिति
16 अवधारणाएँकोण
एक बिंदु से निकलने वाली दो रेखाएँ (भुजाएँ) एक-दूसरे से कितनी दूर फैलती हैं। इसे हम डिग्री (°) में मापते हैं।
▭ S = a × b △ S = c × h ÷ 2आयत और त्रिभुज का क्षेत्रफल
कोई आकृति कितनी सपाट जगह घेरती है, यह गिनकर कि उसके अंदर कितने इकाई वर्ग समा सकते हैं।
▭ P = 2 × (a + b) ⬛ P = 4 × aपरिमाप
एक बार चारों ओर की रूपरेखा की कुल लंबाई — बस सभी भुजाओं को जोड़ दें।
V = a × b × cघनाभ का आयतन
कोई ठोस वस्तु कितनी जगह घेरती है, यह मापा जाता है कि उसके अंदर 1 सेमी वाले कितने घन समाते हैं।
रैखिक सममिति (Line Symmetry)
वह गुण जिसमें किसी रेखा (अक्ष) के सहारे मोड़ने पर दोनों आधे बिल्कुल मेल खा जाते हैं।
a² + b² = c²पाइथागोरस प्रमेय
एक समकोण त्रिभुज में, दोनों छोटी भुजाओं का वर्ग करके जोड़ें, तो ठीक कर्ण के वर्ग के बराबर आता है।
△ABC ≅ △DEFसर्वांगसम त्रिभुज
दो त्रिभुज सर्वांगसम होने का मतलब है कि आप एक को घुमाकर या पलटकर दूसरे पर बिल्कुल ठीक बैठा सकते हैं। हर corresponding भुजा और कोण बराबर होता है।
a : a' = b : b' = c : c' = kसमरूपता
दो आकृतियों का समरूप होना यानी सभी संगत कोण बराबर हों और सभी संगत भुजाएँ एक-दूसरे की समान गुणा (k गुना) हों।
(n − 2) × 180°बहुभुज के आंतरिक और बाह्य कोण
किसी n-भुज के आंतरिक कोण जोड़ें तो (n−2) × 180° मिलता है। और किसी उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है।
π r² × (θ / 360)वृत्त की चाप और त्रिज्यखंड
त्रिज्यखंड वृत्त का एक हिस्सा है। इसका केंद्रीय कोण θ एक पूरे चक्कर (360°) का कोई अंश लेता है, और यह वृत्त के कुल क्षेत्रफल (या परिधि) का भी वही अंश लेता है।
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)निर्देशांक तल में दूरी
दोनों बिंदुओं के बीच क्षैतिज अंतर और ऊर्ध्वाधर अंतर निकालें, ये मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं; बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उसका कर्ण (hypotenuse) है। इसलिए दूरी = √(क्षैतिज² + ऊर्ध्वाधर²)।
sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adjत्रिकोणमितीय अनुपात
समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण θ चुनें, और उसकी भुजाओं के बीच के अनुपात केवल उस कोण से तय होते हैं। वे अनुपात sin, cos, और tan हैं।
sin²θ + cos²θ = 1त्रिकोणमितीय फलन
त्रिज्या 1 के वृत्त पर, θ कोण घूमने के बाद, बिंदु की ऊर्ध्वाधर स्थिति sinθ है और क्षैतिज स्थिति cosθ है। tanθ इन दोनों का अनुपात है।
(x − a)² + (y − b)² = r²वृत्त का समीकरण
वे बिंदु (x,y) जिनकी केंद्र (a,b) से दूरी हमेशा r रहती है, वृत्त बनाते हैं। इस शर्त को समीकरण के रूप में लिखने पर (x−a)²+(y−b)²=r² मिलता है।
|v| = √(x² + y²)सदिश
सदिश एक तीर है जो परिमाण और दिशा दोनों लिए होता है। x बग़ल में और y ऊपर जाना (x,y) लिखा जाता है।
a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ; |a×b| = |a||b|sinθडॉट व क्रॉस प्रोडक्ट (Dot & Cross Products)
डॉट प्रोडक्ट a·b एक अकेली संख्या है जो मापती है कि दो सदिश कितने एक दिशा में हैं। क्रॉस प्रोडक्ट a×b एक नया सदिश है जो दोनों सदिशों वाले तल (plane) के लंबवत खड़ा होता है।
विश्लेषण और कलन
21 अवधारणाएँlim(n→∞) aₙ = Lअनुक्रम की सीमा
पद संख्या n को अनंत की ओर ले जाने पर, अगर पद किसी एक संख्या L के लगातार करीब होते जाएँ, तो L उस अनुक्रम की सीमा है।
lim(x→a) f(x) = Lसीमाएँ
x को किसी मान a के लगातार करीब ले जाएँ, और देखें कि फलन किस संख्या की ओर भीड़ जमाता है।
lim(x→a) f(x) = f(a)सांतत्य (Continuity)
अगर पास पहुँचने पर अपेक्षित मान (लिमिट) ठीक उसी मान के बराबर हो जो उस बिंदु पर वास्तव में अंकित है, तो वक्र वहाँ से बिना टूटे गुज़रता है।
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / hअवकलज (Derivative) — एक पल पर ढलान
दो बिंदुओं के बीच की ढलान (rise ÷ run) निकालें, फिर दोनों बिंदुओं को अनंत रूप से पास लाकर 'एक अकेले बिंदु पर ढलान' पाएँ।
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹घात नियम (Power Rule)
xⁿ का ढलान-फ़ंक्शन है: सामने घातांक n से गुणा करें, और घातांक को घटाकर n−1 कर दें।
(f·g)' = f'·g + f·g'गुणनफल नियम (Product Rule)
दो फलनों के गुणनफल को अवकलित करने के लिए, एक-एक करके अवकलित करें और दोनों परिणामों को जोड़ें।
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)श्रृंखला नियम
किसी संयुक्त फलन (एक फलन के अंदर दूसरा फलन) का अवकलन करने के लिए, बाहरी फलन के अवकलज को अंदरूनी फलन के अवकलज से गुणा करें।
f'(x) = 0क्रांतिक बिंदु (Critical Points) — जहाँ ढलान शून्य है
अवकलज को 0 के बराबर सेट करके हल करें; जो x मिलते हैं वहाँ स्पर्शरेखा सपाट हो जाती है — max या min के उम्मीदवार।
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩अवतलता और द्वितीय अवकलज
द्वितीय अवकलज f'' ढाल के परिवर्तन की दर है। इसका चिह्न बताता है कि वक्र कप (∪) की तरह मुड़ता है या टोपी (∩) की तरह।
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δxसमाकल (Integral) — क्षेत्रफल का संचयन
किसी वक्र के नीचे का क्षेत्रफल, जिसे बहुत सारी संकरी आयतों से भरकर उनके क्षेत्रफल जोड़े जाते हैं। उनकी चौड़ाई को 0 की ओर ले जाने पर सटीक क्षेत्रफल मिलता है।
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)निश्चित समाकल (The Definite Integral)
[a,b] पर क्षेत्रफल, Riemann sum से नहीं बल्कि antiderivative F ढूँढकर और F(b)−F(a) लेकर निकाला जाता है।
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)कैलकुलस का मूलभूत प्रमेय
उस फलन का अवकलज लें जो a से x तक क्षेत्रफल जमा करता आया है, और मूल फलन f(x) तुरंत वापस निकल आता है। अवकलन और समाकलन व्युत्क्रम हैं।
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828संख्या e
100% ब्याज (interest) लें, उसे और महीन compounding चरणों में काट दें, और जैसे-जैसे चरणों की संख्या अनंत की ओर जाती है, परिणाम e ≈ 2.718 के पास पहुँचता है।
ln x = y ⇔ eʸ = xप्राकृतिक लघुगणक
ln x बताता है कि x पाने के लिए e को किस घात तक उठाना होगा। दूसरे शब्दों में, यह घातीय फ़ंक्शन eˣ का प्रतिलोम है।
d/dx eˣ = eˣघातांकीय फलन निकालना — e^x खुद अपना ढलान है
eˣ का ढलान-फलन फिर से eˣ है। किसी भी बिंदु पर, वहां की ऊंचाई ठीक-ठीक वहां का ढलान है।
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²टेलर सन्निकटन — वक्रों को बहुपद के रूप में
एक जटिल फलन को, किसी बिंदु के पास, एक साधारण बहुपद से सन्निकटित किया जाता है जो वहाँ वही मान, ढलान और मोड़ साझा करने के लिए तैयार किया गया हो।
lim(x→a) f(x) = L ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < εसीमा की ε–δ परिभाषा
यदि आपका प्रतिद्वंद्वी चाहे जितनी छोटी त्रुटि ε बताए, आप इनपुट विंडो δ को इतना छोटा कर सकें कि f(x), L के ε के भीतर बना रहे, तो सीमा L है।
S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1श्रेणी का अभिसरण
एक अनंत श्रेणी का 'जोड़' शाब्दिक रूप से अंत तक जोड़ा नहीं जाता। आप पहले N पदों का आंशिक जोड़ बनाते हैं; अगर N बढ़ने पर यह मान किसी संख्या S के पास पहुँचता है, तो श्रेणी 'S की ओर अभिसरित होती है'।
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂yआंशिक अवकलज
दो या उससे ज़्यादा चरों वाले फ़ंक्शन के लिए, जिस चर की परवाह है उसे छोड़कर बाक़ी सबको स्थिर रखें, फिर सामान्य अवकलज निकालें।
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dyबहु-समाकल (Multiple Integrals)
आधार क्षेत्र R को छोटे-छोटे आयतों में काटा जाता है, हर टुकड़े के क्षेत्रफल को उसके ऊपर फ़ंक्शन की ऊँचाई से गुणा करके एक छोटा स्तंभ बनाया जाता है, फिर सारे स्तंभों को जोड़ दिया जाता है।
f(x) = a₀/2 + Σₙ (aₙ cos nx + bₙ sin nx)फूरियर श्रेणी
एक आवर्ती फलन को ठीक-ठीक sine और cosine के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिनकी आवृत्तियां एक मूल आवृत्ति की पूर्णांक गुणज होती हैं। आपको बस यह तय करना है कि हर शुद्ध टोन कितनी मात्रा में जाए (गुणांक aₙ, bₙ)।
प्रायिकता और सांख्यिकी
14 अवधारणाएँN = m × nसंभावनाओं की गिनती (Counting Cases)
जो चीज़ें एक साथ नहीं हो सकतीं उन्हें आप जोड़ते (add) हैं (सम नियम/sum rule); जो चीज़ें एक के बाद एक होती हैं उन्हें आप गुणा (multiply) करते हैं (गुणन नियम/product rule)।
P(A) = a / nप्रायिकता का अर्थ
समान संभावना वाले परिणामों को गिनें, फिर उनमें से वह हिस्सा लें जो आप चाहते हैं।
P(Aᶜ) = 1 − P(A)पूरक घटनाएँ
किसी चीज़ के न होने की प्रायिकता पूरी प्रायिकता 1 घटा उसके होने की प्रायिकता है।
x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) / nकेंद्रीय प्रवृत्ति के माप
माध्य योग को संख्या से भाग देकर मिलता है, माध्यिका क्रम में लगाने पर बीच का मान है, और बहुलक सबसे ज़्यादा बार आने वाला मान है।
σ² = { (x₁−x̄)² + ⋯ + (xₙ−x̄)² } / nफैलाव: प्रसरण और मानक विचलन
माध्य से हर मान के विचलन के वर्गों का औसत प्रसरण है; उसका वर्गमूल मानक विचलन है।
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)क्रमचय और संचय
n वस्तुओं में से r चुनना: अगर चुनने का क्रम मायने रखता है, तो यह क्रमचय (P) है; अगर सिर्फ़ 'कौन चुना गया' मायने रखता है, तो यह संचय (C) है।
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)सशर्त प्रायिकता
मान लें घटना A पहले ही घटित हो चुकी है, तो उस शर्त के अंतर्गत B के घटित होने की प्रायिकता ही सशर्त प्रायिकता है। आप पूरी दुनिया को सिकोड़कर A तक ले आते हैं, फिर उसमें B को तौलते हैं।
P(X=k) = ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏद्विपद बंटन
यह उस प्रायिकता का बंटन है कि जब आप n स्वतंत्र प्रयास करते हैं, प्रत्येक में समान सफलता प्रायिकता p हो, तो k सफलताएँ मिलें।
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68सामान्य वितरण
अपने माध्य के चारों ओर सममित, घंटी के आकार का वितरण। डेटा माध्य के पास सबसे घना होता है और दूर जाने पर तेज़ी से पतला होता जाता है।
E(X) = Σ xᵢ pᵢप्रत्याशित मान और प्रसरण
जब आप परिणामों की प्रायिकताएं जानते हैं, तो यह हर मान को उसकी प्रायिकता से गुणा करके जोड़ना है। इसे बहुत बार दोहराएं और यह वह 'दीर्घकालिक औसत' है जिस पर चीज़ें स्थिर होती हैं।
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)बेज़ प्रमेय
बेज़ प्रमेय किसी विश्वास को नए प्रमाण के आधार पर अद्यतन करने का नियम है। B देखने से पहले A की प्रायिकता (पूर्व-प्रायिकता) लें, इसे A सत्य होने पर B की संभावना से गुणा करें, फिर B की कुल संभावना से भाग दें — आपको B देखने के बाद A की प्रायिकता (पश्च-प्रायिकता) मिल जाती है।
x̄ₙ = (X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ) / n → μ (n → ∞)बड़ी संख्याओं का नियम
बड़ी संख्याओं का नियम कहता है कि अगर आप एक ही यादृच्छिक (random) प्रयोग को बार-बार दोहराएँ, तो परिणामों का औसत सैद्धांतिक अपेक्षित मान μ के लगातार करीब होता जाता है। एक-एक परिणाम अप्रत्याशित ही रहता है, पर औसत अनुमानित हो जाता है।
(x̄ₙ − μ) / (σ/√n) → N(0, 1) (n → ∞)केंद्रीय सीमा प्रमेय
केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि मूल बंटन का आकार चाहे जो हो — सपाट या तिरछा — अगर आप कई स्वतंत्र प्रतिदर्श लेकर उनका औसत (या योग) निकालें, तो उन औसतों का बंटन सामान्य (घंटी) आकार के क़रीब पहुँचता है।
P(Xₙ₊₁ | X₀…Xₙ) = P(Xₙ₊₁ | Xₙ); πP = πमार्कोव श्रृंखला (Markov Chains)
यह एक ऐसी प्रक्रिया है जो स्थितियों के बीच यादृच्छिक रूप से उछलती है, जहाँ अगली स्थिति की प्रायिकता सिर्फ वर्तमान स्थिति पर निर्भर करती है, न कि वहाँ तक पहुँचने के रास्ते पर। यही 'स्मृतिहीनता' मार्कोव गुण (Markov property) कहलाती है।
असतत गणित और तर्कशास्त्र
4 अवधारणाएँn(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)समुच्चय और वेन आरेख
संघ का आकार है दोनों समुच्चयों के आकार जोड़ना, फिर ओवरलैप (प्रतिच्छेदन) को ठीक एक बार घटाना।
(p → q) ≡ (~q → ~p)कथन: सत्य या असत्य
कथन वह वाक्य है जिसे आप साफ-साफ सत्य या असत्य आंक सकें। 'अगर p तो q' जैसा सप्रतिबंध कथन हमेशा अपने विपरीत-सम के साथ एक ही सत्यता रखता है।
G = (V, E), Σ(v∈V) deg(v) = 2|E|ग्राफ सिद्धांत
एक ग्राफ बिंदुओं (शीर्षों) और उन्हें जोड़ने वाली रेखाओं (किनारों) का संग्रह है। यह केवल यह दर्ज करता है कि क्या किससे जुड़ा है, स्थिति, आकार और दूरी को छोड़ देता है। यह संबंधों का एक ऐसा नक्शा है जो केवल ढांचे तक सिमटा हुआ है।
[ P(1) ∧ ( P(k) ⟹ P(k+1) ) ] ⟹ ∀n ≥ 1, P(n)गणितीय आगमन (Mathematical Induction)
गणितीय आगमन कथनों को 'हर प्राकृत संख्या n' के लिए सत्य सिद्ध करता है। (1) दिखाएँ कि यह n=1 पर सत्य है (आधार), और (2) दिखाएँ कि अगर यह n=k पर सत्य है तो n=k+1 पर भी सत्य होना चाहिए (चरण); डोमिनो की तरह, ये सब गिर जाते हैं।
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