टेलर सन्निकटन — वक्रों को बहुपद के रूप में
“टेलर सन्निकटन एक वक्र की जगह एक बहुपद रख देता है।”
सूत्र
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²कैसे पढ़ें: किसी बिंदु के पास एक वक्र की नकल एक बहुपद से करें, उसके मान, ढलान और मोड़ को क्रम से मिलाते हुए
- f(a)
- — उस बिंदु पर मान — शून्य क्रम: ऊँचाई मिलाना
- f'(a)(x−a)
- — ढलान मिलाना — प्रथम क्रम: स्पर्श रेखा
- ½f''(a)(x−a)²
- — मोड़ मिलाना — द्वितीय क्रम: वक्रता
शुरुआत
कंप्यूटर sin या eˣ की गणना कैसे करता है? जवाब हैरान करने वाला है — यह वक्र की जगह एक बहुपद रख देता है।
सरल शब्दों में
एक जटिल फलन को, किसी बिंदु के पास, एक साधारण बहुपद से सन्निकटित किया जाता है जो वहाँ वही मान, ढलान और मोड़ साझा करने के लिए तैयार किया गया हो।
अंतर्ज्ञान
किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा खींचें (प्रथम क्रम) तो वह आसपास की मोटे तौर पर नकल करती है। वक्र का 'मोड़' (द्वितीय क्रम) जोड़ें तो यह और कसकर लिपट जाता है। हर अतिरिक्त पद बहुपद को असली वक्र के चारों ओर, एक व्यापक हिस्से में, और कसकर लपेट देता है।
कैसे बनता है
शून्य क्रम ऊँचाई f(a) है; प्रथम-क्रम पद f'(a)(x−a) स्पर्श रेखा बनाता है; द्वितीय-क्रम पद ½f''(a)(x−a)² अवतलता मिलाता है। हर पद उस बिंदु पर एक और अवकलज को मिला देता है।
उदाहरण
a=0 के पास eˣ के लिए: f(0)=1, f'(0)=1, f''(0)=1 → 1+x+x²/2। x=0.1 पर यह 1+0.1+0.005 = 1.105 है, जो असली e^0.1 ≈ 1.10517 के लगभग बराबर है।
आम ग़लतफ़हमी
सन्निकटन केवल आधार बिंदु a के पास ही अच्छा होता है। जैसे-जैसे आप दूर जाते हैं यह भटक जाता है, और पद जोड़ने से सटीकता बढ़ती है पर यह हर जगह मान्य नहीं हो जाता (अभिसरण त्रिज्या)।
कहाँ उपयोग होता है
कैलकुलेटर और कंप्यूटर sin, eˣ, ln कैसे निकालते हैं; भौतिकी में लघु-कोण सन्निकटन sinθ≈θ; इंजीनियरिंग में रैखिकीकरण — हर जगह व्यावहारिक गणना में।
कहाँ से आया
ब्रुक टेलर ने 1700 के दशक में इसे औपचारिक रूप दिया; a=0 पर आधारित विशेष स्थिति को मैक्लॉरिन श्रेणी कहते हैं।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
इसके प्रथम-क्रम (रैखिक) पद तक, टेलर सन्निकटन किसके समान होता है?
- स्पर्श रेखा✓
- क्षेत्रफल
- सीमा
- द्वितीय अवकलज
अभ्यास
eˣ के लिए प्रथम-क्रम (स्पर्श रेखा) सन्निकटन 1+x का उपयोग करते हुए, x=0.2 पर अनुमान क्या है?
उत्तर: 1.2
- सन्निकटन: 1+x
- x=0.2 रखें → 1.2 (असली e^0.2 ≈ 1.221)
मुख्य बात: प्रथम-क्रम सन्निकटन स्पर्श रेखा है — पास में काफी सटीक।
eˣ ≈ 1+x+x²/2 (a=0 पर आधारित) का उपयोग करते हुए, x=1 पर अनुमान क्या है?
उत्तर: 2.5
- 1 + 1 + 1²/2 = 1 + 1 + 0.5
- = 2.5 (असली e ≈ 2.718 — इतनी दूर पर त्रुटि बड़ी है)
मुख्य बात: आधार बिंदु से जितना दूर, उतने ज़्यादा पद चाहिए।
टेलर का उपयोग कर लघु-कोण सन्निकटन sinθ≈θ समझाएँ। θ=0 पर sin का प्रथम-क्रम सन्निकटन क्या है?
उत्तर: undefined
- sin 0 = 0, (sin)'=cos, cos 0 = 1
- प्रथम-क्रम: 0 + 1·(θ−0) = θ
- इसलिए छोटे θ के लिए, sinθ ≈ θ
मुख्य बात: भौतिकी का लघु-कोण सन्निकटन असल में सिर्फ प्रथम टेलर पद है।