घात नियम (Power Rule)
“घात नियम: नीचे लाओ, एक से घटाओ।”
सूत्र
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹कैसे पढ़ें: xⁿ का अवकलन करने के लिए, घातांक n को आगे लाएँ और घातांक को एक कम करें
- n
- — घात का घातांक
- d/dx
- — 'x के सापेक्ष अवकलन करें' का प्रतीक
- xⁿ⁻¹
- — वह घात जिसका घातांक 1 कम किया गया है
शुरुआत
हर बार सीमा वाली परिभाषा चलाने की ज़रूरत नहीं — घातों के लिए बस एक क़दम है: 'नीचे लाओ, घटाओ'।
सरल शब्दों में
xⁿ का ढलान-फ़ंक्शन है: सामने घातांक n से गुणा करें, और घातांक को घटाकर n−1 कर दें।
अंतर्ज्ञान
घातांक जितना बड़ा, वक्र उतनी तेज़ी से चढ़ता है। अवकलन उस 'चढ़ने की दर (n)' को सामने खींच लेता है और डिग्री को एक पायदान नीचे लाकर ढलान का रूप गढ़ता है।
कैसे बनता है
बस दो क़दम — ① घातांक को गुणनखंड के रूप में नीचे लाएँ, और ② घातांक से 1 घटाएँ। यह नियम बस उस पैटर्न को समेटता है जो x³, x⁴ आदि पर सीमा वाली परिभाषा चलाने से मिलता।
उदाहरण
x⁵ का अवकलन करें: घातांक 5 सामने आता है, घातांक 4 बन जाता है → 5x⁴। x=1 पर ढलान 5 है।
आम ग़लतफ़हमी
घातांक से 1 घटाना भूल जाना आसान है। साथ ही, स्थिरांक का अवकलज 0 होता है — स्थिरांक n=0 वाला x⁰ है, इसलिए सामने वाला गुणनखंड 0 होता है।
कहाँ उपयोग होता है
किसी भी बहुपद का अवकलन मूल रूप से इसी नियम को हर पद पर लगाना है। भौतिकी और अर्थशास्त्र के ज़्यादातर मॉडल बहुपद होते हैं, इसलिए इसका इस्तेमाल रोज़ होता है।
कहाँ से आया
न्यूटन ने द्विपद प्रमेय से (1+h)ⁿ का विस्तार करके यह पैटर्न निकाला; बाद में यह परिमेय और वास्तविक घातांकों के लिए भी सही साबित हुआ।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
x⁶ का अवकलज क्या है?
- 6x⁵✓
- 6x⁷
- x⁵
- 5x⁶
अभ्यास
f(x)=x⁴ का x=2 पर अवकलज क्या है?
उत्तर: 32
- f'(x)=4x³
- x=2 रखें → 4·8 = 32
मुख्य बात: नीचे लाओ, घटाओ, फिर एक बार मान रखें।
f(x)=x²+x³ का x=1 पर अवकलज क्या है? (पद दर पद)
उत्तर: 5
- f'(x)=2x+3x²
- x=1 रखें → 2 + 3 = 5
मुख्य बात: किसी योग का अवकलज है हर पद का अवकलन करके जोड़ना।
f(x)=5x² का अवकलन करें और x=3 रखें।
उत्तर: 30
- स्थिरांक 5 साथ चलता रहता है: f'(x)=5·2x=10x
- x=3 रखें → 30
मुख्य बात: स्थिरांक गुणांक अवकलज में सीधे साथ निकलता है।