विश्लेषण और कलन
21 अवधारणाएँ
lim(n→∞) aₙ = Lअनुक्रम की सीमा
पद संख्या n को अनंत की ओर ले जाने पर, अगर पद किसी एक संख्या L के लगातार करीब होते जाएँ, तो L उस अनुक्रम की सीमा है।
lim(x→a) f(x) = Lसीमाएँ
x को किसी मान a के लगातार करीब ले जाएँ, और देखें कि फलन किस संख्या की ओर भीड़ जमाता है।
lim(x→a) f(x) = f(a)सांतत्य (Continuity)
अगर पास पहुँचने पर अपेक्षित मान (लिमिट) ठीक उसी मान के बराबर हो जो उस बिंदु पर वास्तव में अंकित है, तो वक्र वहाँ से बिना टूटे गुज़रता है।
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / hअवकलज (Derivative) — एक पल पर ढलान
दो बिंदुओं के बीच की ढलान (rise ÷ run) निकालें, फिर दोनों बिंदुओं को अनंत रूप से पास लाकर 'एक अकेले बिंदु पर ढलान' पाएँ।
d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹घात नियम (Power Rule)
xⁿ का ढलान-फ़ंक्शन है: सामने घातांक n से गुणा करें, और घातांक को घटाकर n−1 कर दें।
(f·g)' = f'·g + f·g'गुणनफल नियम (Product Rule)
दो फलनों के गुणनफल को अवकलित करने के लिए, एक-एक करके अवकलित करें और दोनों परिणामों को जोड़ें।
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)श्रृंखला नियम
किसी संयुक्त फलन (एक फलन के अंदर दूसरा फलन) का अवकलन करने के लिए, बाहरी फलन के अवकलज को अंदरूनी फलन के अवकलज से गुणा करें।
f'(x) = 0क्रांतिक बिंदु (Critical Points) — जहाँ ढलान शून्य है
अवकलज को 0 के बराबर सेट करके हल करें; जो x मिलते हैं वहाँ स्पर्शरेखा सपाट हो जाती है — max या min के उम्मीदवार।
f''(x) > 0 ⇒ ∪ , f''(x) < 0 ⇒ ∩अवतलता और द्वितीय अवकलज
द्वितीय अवकलज f'' ढाल के परिवर्तन की दर है। इसका चिह्न बताता है कि वक्र कप (∪) की तरह मुड़ता है या टोपी (∩) की तरह।
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δxसमाकल (Integral) — क्षेत्रफल का संचयन
किसी वक्र के नीचे का क्षेत्रफल, जिसे बहुत सारी संकरी आयतों से भरकर उनके क्षेत्रफल जोड़े जाते हैं। उनकी चौड़ाई को 0 की ओर ले जाने पर सटीक क्षेत्रफल मिलता है।
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)निश्चित समाकल (The Definite Integral)
[a,b] पर क्षेत्रफल, Riemann sum से नहीं बल्कि antiderivative F ढूँढकर और F(b)−F(a) लेकर निकाला जाता है।
d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)कैलकुलस का मूलभूत प्रमेय
उस फलन का अवकलज लें जो a से x तक क्षेत्रफल जमा करता आया है, और मूल फलन f(x) तुरंत वापस निकल आता है। अवकलन और समाकलन व्युत्क्रम हैं।
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2.71828संख्या e
100% ब्याज (interest) लें, उसे और महीन compounding चरणों में काट दें, और जैसे-जैसे चरणों की संख्या अनंत की ओर जाती है, परिणाम e ≈ 2.718 के पास पहुँचता है।
ln x = y ⇔ eʸ = xप्राकृतिक लघुगणक
ln x बताता है कि x पाने के लिए e को किस घात तक उठाना होगा। दूसरे शब्दों में, यह घातीय फ़ंक्शन eˣ का प्रतिलोम है।
d/dx eˣ = eˣघातांकीय फलन निकालना — e^x खुद अपना ढलान है
eˣ का ढलान-फलन फिर से eˣ है। किसी भी बिंदु पर, वहां की ऊंचाई ठीक-ठीक वहां का ढलान है।
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x−a) + ½f''(a)(x−a)²टेलर सन्निकटन — वक्रों को बहुपद के रूप में
एक जटिल फलन को, किसी बिंदु के पास, एक साधारण बहुपद से सन्निकटित किया जाता है जो वहाँ वही मान, ढलान और मोड़ साझा करने के लिए तैयार किया गया हो।
lim(x→a) f(x) = L ⟺ ∀ε>0, ∃δ>0 : 0 < |x−a| < δ ⟹ |f(x)−L| < εसीमा की ε–δ परिभाषा
यदि आपका प्रतिद्वंद्वी चाहे जितनी छोटी त्रुटि ε बताए, आप इनपुट विंडो δ को इतना छोटा कर सकें कि f(x), L के ε के भीतर बना रहे, तो सीमा L है।
S = Σ(n=1..∞) aₙ = lim(N→∞) (a₁ + a₂ + ⋯ + a_N); Σ(n=0..∞) arⁿ = a/(1−r), |r|<1श्रेणी का अभिसरण
एक अनंत श्रेणी का 'जोड़' शाब्दिक रूप से अंत तक जोड़ा नहीं जाता। आप पहले N पदों का आंशिक जोड़ बनाते हैं; अगर N बढ़ने पर यह मान किसी संख्या S के पास पहुँचता है, तो श्रेणी 'S की ओर अभिसरित होती है'।
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂yआंशिक अवकलज
दो या उससे ज़्यादा चरों वाले फ़ंक्शन के लिए, जिस चर की परवाह है उसे छोड़कर बाक़ी सबको स्थिर रखें, फिर सामान्य अवकलज निकालें।
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dyबहु-समाकल (Multiple Integrals)
आधार क्षेत्र R को छोटे-छोटे आयतों में काटा जाता है, हर टुकड़े के क्षेत्रफल को उसके ऊपर फ़ंक्शन की ऊँचाई से गुणा करके एक छोटा स्तंभ बनाया जाता है, फिर सारे स्तंभों को जोड़ दिया जाता है।
f(x) = a₀/2 + Σₙ (aₙ cos nx + bₙ sin nx)फूरियर श्रेणी
एक आवर्ती फलन को ठीक-ठीक sine और cosine के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिनकी आवृत्तियां एक मूल आवृत्ति की पूर्णांक गुणज होती हैं। आपको बस यह तय करना है कि हर शुद्ध टोन कितनी मात्रा में जाए (गुणांक aₙ, bₙ)।
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