गुणनफल नियम (Product Rule)
“गुणनफल नियम: एक-एक करके अवकलित करें, फिर जोड़ें।”
सूत्र
(f·g)' = f'·g + f·g'कैसे पढ़ें: गुणनफल का अवकलज है 'पहले को अवकलित करें, दूसरे को वैसा ही रखें' जमा 'पहले को वैसा ही रखें, दूसरे को अवकलित करें'
- f, g
- — गुणा किए जा रहे दो फलन
- f', g'
- — हर फलन का अवकलज
- f'g + fg'
- — 'पहले को अवकलित × दूसरे को वैसा रखें' + 'पहले को वैसा रखें × दूसरे को अवकलित'
शुरुआत
सबसे आम गलती यह मानना है कि (fg)' = f'g' — गुणनफल का अवकलज इतना सरल नहीं है।
सरल शब्दों में
दो फलनों के गुणनफल को अवकलित करने के लिए, एक-एक करके अवकलित करें और दोनों परिणामों को जोड़ें।
अंतर्ज्ञान
चौड़ाई f और ऊँचाई g वाला एक आयत सोचें, क्षेत्रफल fg। हर भुजा को थोड़ा हिलाएँ तो क्षेत्रफल दो तरह से बढ़ता है — जितना चौड़ाई बढ़ी (f'g) और जितना ऊँचाई बढ़ी (fg')। इन दोनों का जोड़ ही क्षेत्रफल की बढ़ने की दर है।
कैसे बनता है
दो हिस्से — f'g (जब सिर्फ पहला बदलता है) और fg' (जब सिर्फ दूसरा बदलता है)। जो छोटा-सा टुकड़ा दोनों के एक साथ बदलने से बनता है (f'g'·h), वह h→0 होने पर मिट जाता है, इसलिए बचता नहीं।
उदाहरण
f=x², g=x³ के साथ: f'g+fg' = 2x·x³ + x²·3x² = 2x⁴+3x⁴ = 5x⁴। और वाकई x²·x³=x⁵ का अवकलज 5x⁴ है — पूरी तरह मेल खाता है।
आम ग़लतफ़हमी
(fg)' ≠ f'g'। हर एक को अलग-अलग अवकलित कर के गुणा करना गलत है। आपको दोनों पदों को जोड़ना ही होगा।
कहाँ उपयोग होता है
जहाँ भी दो बदलती राशियों का गुणनफल दिखे — गति×द्रव्यमान, लंबाई×चौड़ाई। यह आगे आने वाले अवकलजों के लिए भी एक आधार है।
कहाँ से आया
लाइबनिट्स ने 1670 के दशक में गुणनफल के अवकलज को हल किया और इस नियम को उस रूप में स्थापित किया जो आज हम इस्तेमाल करते हैं।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
(f·g)' किसके बराबर है?
- f'g'
- f'g + fg'✓
- f' + g'
- fg
अभ्यास
गुणनफल नियम से h(x)=x·x² को अवकलित करें और h'(2) निकालें।
उत्तर: 12
- f=x, f'=1 ; g=x², g'=2x
- h'=1·x² + x·2x = x²+2x² = 3x²
- x=2 डालें → 3·4 = 12
मुख्य बात: x·x²=x³ को सीधे अवकलित करने पर भी 3x² मिलता है — जाँच सही है।
गुणनफल नियम से h(x)=(x+1)(x+2) को अवकलित करें और h'(1) निकालें।
उत्तर: 5
- f=x+1, f'=1 ; g=x+2, g'=1
- h'=(x+2) + (x+1) = 2x+3
- x=1 डालें → 5
मुख्य बात: विस्तार करने पर यह x²+3x+2 है, अवकलज 2x+3 — परिणाम मेल खाते हैं।
गुणनफल नियम से h(x)=x²·(x+1) को अवकलित करें, फिर विस्तार करके दोबारा जाँचें।
उत्तर: undefined
- f=x², f'=2x ; g=x+1, g'=1
- h'=2x(x+1) + x²·1 = 2x²+2x+x² = 3x²+2x
- जाँच: विस्तार करने पर x³+x², अवकलित करने पर 3x²+2x — मेल खाता है
मुख्य बात: गुणनफल नियम और पहले विस्तार करके अवकलित करना हमेशा मेल खाते हैं।