आंशिक अवकलज
“आंशिक अवकलज है 'बाक़ी सब स्थिर रखें — बस इसी एक दिशा में कितना तीखा है?'”
सूत्र
z = f(x, y) → ∂f/∂x, ∂f/∂yकैसे पढ़ें: कई चरों वाले फ़ंक्शन में, तात्क्षणिक ढलान जब बाक़ी सभी चर स्थिर रखते हुए सिर्फ़ x को थोड़ा हिलाया जाए
- ∂
- — आंशिक चिह्न — 'केवल इसी एक दिशा में अवकलन करें'
- ∂f/∂x
- — x के सापेक्ष आंशिक अवकलज — y को स्थिरांक मानते हुए ढलान
- y
- — दूसरा चर, जिसे इस बार स्थिर रखा गया है
शुरुआत
आप एक पहाड़ी ढलान पर खड़े हैं। 'अगर मैं पूरब चलूँ तो कितनी तीखी ढलान है' और 'अगर उत्तर चलूँ तो कितनी तीखी' — ये अलग-अलग संख्याएँ हैं। आंशिक अवकलज सिर्फ़ एक दिशा में ढलान है।
सरल शब्दों में
दो या उससे ज़्यादा चरों वाले फ़ंक्शन के लिए, जिस चर की परवाह है उसे छोड़कर बाक़ी सबको स्थिर रखें, फिर सामान्य अवकलज निकालें।
अंतर्ज्ञान
ऊबड़-खाबड़ ज़मीन f(x,y) की कल्पना करें। ∂f/∂x वह ढलान है जब आप सिर्फ़ पूरब-पश्चिम क़दम बढ़ाएँ; ∂f/∂y वह ढलान है जब सिर्फ़ उत्तर-दक्षिण। एक ही बिंदु पर भी तीखापन दिशा पर निर्भर करता है, इसलिए हर दिशा को अलग-अलग नापा जाता है।
कैसे बनता है
प्रक्रिया सामान्य अवकलन जैसी ही है, बस एक अतिरिक्त नियम के साथ: जिस चर से अवकलन कर रहे हैं उसके अलावा बाक़ी सबको एक सादा संख्या (स्थिरांक) माना जाता है। इसलिए ∂/∂x करते समय, y को ऐसे संभालें जैसे वह संख्या 3 हो।
उदाहरण
मान लें f(x,y)=x²y। x में अवकलन (y स्थिर): ∂f/∂x = 2xy। y में अवकलन (x² स्थिर): ∂f/∂y = x²। बिंदु (2,3) पर: ∂f/∂x = 2·2·3 = 12 और ∂f/∂y = 2² = 4।
आम ग़लतफ़हमी
यह मान लेना लुभावना है कि ∂f/∂x निकालते समय y भी हिलता है। असल में नहीं — आंशिक अवकलज में y पूरी तरह स्थिर रहता है। जहाँ y भी x के साथ बदले, उसे संभालने के लिए एक अलग औज़ार है, कुल अवकलज।
कहाँ उपयोग होता है
मशीन लर्निंग में ग्रेडिएंट डिसेंट (हज़ारों वज़नों में से हर एक के लिए एक आंशिक अवकलज = ग्रेडिएंट), ऊष्मा और तरल पदार्थों के लिए आंशिक अवकल समीकरण, अर्थशास्त्र में सीमांत उपयोगिता, भौतिकी में फ़ील्ड गणना — कई चरों वाली हर दुनिया आंशिक अवकलजों पर चलती है।
कहाँ से आया
1700 के दशक में यूलर और द'अलंबेर ने कंपित तारों और ऊष्मा प्रवाह का अध्ययन करते हुए एक समय में एक चर का अवकलन करने के विचार को परिष्कृत किया। ∂ प्रतीक, एक 'गोल d', इसे सामान्य d से अलग दिखाने के लिए लाया गया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
f(x,y)=x²y का y के सापेक्ष आंशिक अवकलज क्या है?
- 2xy
- x²✓
- 2x
- y
अभ्यास
f(x,y)=x²+y² के लिए, बिंदु (3,5) पर ∂f/∂x निकालें।
उत्तर: 6
- y को स्थिरांक मानकर, x में अवकलन करें: ∂f/∂x = 2x
- x=3 रखें → 2·3 = 6
मुख्य बात: आंशिक अवकलज एक चर को छोड़कर बाक़ी सबको स्थिर करता है — फिर यह सिर्फ़ सामान्य अवकलन है।
f(x,y)=x²y के लिए, बिंदु (2,3) पर ∂f/∂x निकालें।
उत्तर: 12
- y को स्थिरांक मानकर, x में अवकलन करें: ∂f/∂x = 2xy
- (2,3) रखें → 2·2·3 = 12
मुख्य बात: x में अवकलन करते समय, y एक संख्या के रूप में साथ बना रहता है।
f(x,y)=3x+4y के लिए ∂f/∂y निकालें।
उत्तर: 4
- x को स्थिरांक मानें, तो 3x का अवकलज 0 होता है
- 4y का y में अवकलन → 4
मुख्य बात: लक्षित चर के बिना वाले पद स्थिरांक होते हैं और ग़ायब हो जाते हैं।
अपनी नोटबुक में समझाएँ कि ∂f/∂x निकालते समय y को स्थिरांक मानना क्यों सही है।
उत्तर: undefined
- परिभाषा से: f(x+h,y)−f(x,y) में, y दोनों पदों में बिल्कुल समान रहता है
- केवल x, h से बदलता है → y कभी नहीं बदलता, इसलिए यह स्थिरांक की तरह काम करता है
- ज्यामितीय रूप से आप 'पूरब-पश्चिम अनुप्रस्थ काट' काटते हैं और उसी काट का ढलान नापते हैं
मुख्य बात: परिभाषा ही — एक-दिशा वाले काट का ढलान — ठीक वही है जो 'बाक़ी चरों को स्थिर रखना' कहलाता है।