बहु-समाकल (Multiple Integrals)
“बहु-समाकल है 'हर छोटे क्षेत्रफल के टुकड़े को उसकी ऊँचाई से गुणा करके, फिर सब जोड़ देना' — यानी एक आयतन।”
सूत्र
∬_R f(x, y) dA = ∫∫ f(x, y) dx dyकैसे पढ़ें: क्षेत्र R पर, f को एक बार x में और एक बार y में समाकलित करें ताकि सतह के नीचे फँसा आयतन मिल सके
- ∬_R
- — क्षेत्र R पर द्वि-समाकल का चिह्न
- dA
- — क्षेत्रफल अवयव dA = क्षेत्र का एक बेहद छोटा टुकड़ा
- dx dy
- — पहले भीतरी समाकल (x), फिर बाहरी समाकल (y) — एक क्रमिक (iterated) समाकल
शुरुआत
अगर 1-आयामी समाकल क्षेत्रफल नापने का पैमाना है, तो 2-आयामी समाकल आयतन नापने का पैमाना है — यह सतह और फर्श के बीच की पूरी जगह पकड़ लेता है।
सरल शब्दों में
आधार क्षेत्र R को छोटे-छोटे आयतों में काटा जाता है, हर टुकड़े के क्षेत्रफल को उसके ऊपर फ़ंक्शन की ऊँचाई से गुणा करके एक छोटा स्तंभ बनाया जाता है, फिर सारे स्तंभों को जोड़ दिया जाता है।
अंतर्ज्ञान
एक शहर के नक़्शे की कल्पना करें जहाँ इमारत की ऊँचाई f(x,y) है। हर ब्लॉक (एक छोटा क्षेत्रफल dA) के लिए 'क्षेत्रफल × ऊँचाई = उस ब्लॉक का आयतन' निकालें, फिर पूरे शहर पर जोड़कर कुल आयतन पाएँ। दो समाकल चिह्न इसलिए हैं क्योंकि आप एक बार x में और एक बार y में सफ़र करते हैं।
कैसे बनता है
क्रमिक समाकल भीतर से बाहर की ओर निकाला जाता है: पहले y को स्थिर रखते हुए x में समाकलन करें (जिससे एक अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल मिलता है), फिर उसे y में समाकलित करें (काटों को जोड़कर आयतन बनाना)। भीतरी समाकल में y को स्थिर रखना बिल्कुल आंशिक अवकलज जैसा ही है।
उदाहरण
∫₀¹∫₀¹ (x+y) dx dy निकालें। भीतरी (x): ∫₀¹(x+y)dx = [x²/2 + yx]₀¹ = 1/2 + y। बाहरी (y): ∫₀¹(1/2 + y)dy = [y/2 + y²/2]₀¹ = 1/2 + 1/2 = 1। आयतन 1 है।
आम ग़लतफ़हमी
'दो समाकल चिह्न मतलब दोगुनी कठिनाई' सोचना ग़लत है — आप एक बार में एक ही करते हैं, दूसरे चर को स्थिरांक मानते हुए, क्रम से। किसी सुचारू क्षेत्र के लिए यह मायने नहीं रखता कि आप पहले x में समाकलित करें या y में (फ़ूबिनी प्रमेय)।
कहाँ उपयोग होता है
द्रव्यमान, द्रव्यमान केंद्र, और जड़त्व आघूर्ण (किसी क्षेत्र पर घनत्व का समाकलन), संयुक्त प्रायिकता वितरण (कुल 2-चर प्रायिकता = 1), विद्युतचुंबकीय फ्लक्स, और कंप्यूटर ग्राफिक्स में लाइटिंग समाकल — किसी क्षेत्र में फैली किसी भी 'मात्रा का कुल योग' एक बहु-समाकल है।
कहाँ से आया
न्यूटन और लाइबनिट्स के समाकल का कई चरों तक विस्तार; 19वीं सदी में फ़ूबिनी ने साबित किया कि इसे क्रमिक एकल समाकलों के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जिससे व्यावहारिक गणना का रास्ता खुला।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
∫₀¹∫₀¹ 1 dx dy क्या है? (इकाई वर्ग पर ऊँचाई 1 का आयतन)
- 0
- 1✓
- 2
- 1/2
अभ्यास
∫₀²∫₀³ 1 dx dy निकालें। (3×2 आधार पर ऊँचाई 1 के डिब्बे का आयतन)
उत्तर: 6
- भीतरी: ∫₀³ 1 dx = 3
- बाहरी: ∫₀² 3 dy = 3·2 = 6
मुख्य बात: स्थिरांक 1 को समाकलित करने से क्षेत्र का क्षेत्रफल × ऊँचाई = आयतन मिलता है।
∫₀¹∫₀¹ (x+y) dx dy निकालें।
उत्तर: 1
- भीतरी (x): ∫₀¹(x+y)dx = 1/2 + y
- बाहरी (y): ∫₀¹(1/2 + y)dy = 1/2 + 1/2 = 1
मुख्य बात: क्रमिक समाकल भीतर से बाहर जाते हैं — भीतरी समाकल में y स्थिर रहता है।
∫₀²∫₀² xy dx dy निकालें।
उत्तर: 4
- भीतरी (x): ∫₀² xy dx = y·[x²/2]₀² = 2y
- बाहरी (y): ∫₀² 2y dy = [y²]₀² = 4
मुख्य बात: जब चर अलग हो जाएँ तो आप गुणनखंड बना सकते हैं: (∫x dx)(∫y dy) = 2·2 = 4।
अपनी नोटबुक में समझाएँ कि क्रम बदलने (पहले x या पहले y) से एक ही उत्तर क्यों मिलता है (फ़ूबिनी प्रमेय)।
उत्तर: undefined
- आयतन एक वास्तविक वस्तु है — ऊर्ध्वाधर टुकड़े या क्षैतिज टुकड़े जोड़ना उसी जगह को भरता है
- किसी परिबद्ध क्षेत्र पर सतत (समाकलनीय) फ़ंक्शन के लिए, दोनों क्रमिक समाकल उसी आयतन के बराबर होते हैं
- यही फ़ूबिनी प्रमेय है — वह शर्त जिसके तहत क्रम बदला जा सकता है
मुख्य बात: सुचारू फ़ंक्शनों के लिए क्रम स्वतंत्र है — नीचे बस एक ही आयतन है।