निश्चित समाकल (The Definite Integral)
“निश्चित समाकल एक क्षेत्रफल को एक अकेली संख्या में समेट देता है।”
सूत्र
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)कैसे पढ़ें: a से b तक का क्षेत्रफल antiderivative F को b पर लेकर a पर के मान को घटाने से मिलता है
- a, b
- — अंतराल की शुरुआत और अंत (निचली और ऊपरी सीमा)
- F
- — f का एक antiderivative (एक फ़ंक्शन जिसका अवकलज f है)
- F(b) − F(a)
- — ऊपर वाला मान घटाकर नीचे वाला मान
शुरुआत
निश्चित समाकल (definite integral) के लिए 'अनंत जोड़' की ज़रूरत नहीं — आप बस antiderivative में दो संख्याएँ डालकर घटाते हैं।
सरल शब्दों में
[a,b] पर क्षेत्रफल, Riemann sum से नहीं बल्कि antiderivative F ढूँढकर और F(b)−F(a) लेकर निकाला जाता है।
अंतर्ज्ञान
निश्चित समाकल एक अकेली संख्या है (फ़ंक्शन नहीं)। मील के पत्थरों (mile-markers) की तरह, अंत तक जमा हुई मात्रा F(b) और शुरुआत तक जमा हुई मात्रा F(a) के बीच का अंतर, उस हिस्से में जमा हुआ नया क्षेत्रफल है।
कैसे बनता है
① f का एक antiderivative F ढूँढें (एक फ़ंक्शन जो अवकलन करने पर वापस f बन जाए), ② ऊपर वाला b डालें, और ③ नीचे वाले a पर का मान घटाएँ। कोष्ठक [F(x)]ₐᵇ यही 'डालो और घटाओ' दर्शाता है।
उदाहरण
∫₀³ x² dx: antiderivative है x³/3। [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9।
आम ग़लतफ़हमी
निश्चित समाकल एक संख्या है, फ़ंक्शन नहीं। और यह 'चिह्नित क्षेत्रफल (signed area)' है, इसलिए x-अक्ष के नीचे वाले हिस्से negative गिने जाते हैं — मान शून्य या यहाँ तक कि negative भी हो सकता है।
कहाँ उपयोग होता है
किसी 'अंतराल भर के कुल' के लिए वास्तविक संख्या निकालना — कुल दूरी, औसत मान, कार्य (work), प्रायिकता, और भी बहुत कुछ।
कहाँ से आया
लाइबनिट्स का ∫ चिह्न एक खींचा हुआ S है, लैटिन summa ('जोड़') से — 'जोड़ने' के निशान आज भी इस नोटेशन में जीवित हैं।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
∫₀² x dx का मान क्या है?
- 1
- 2✓
- 4
- 0
अभ्यास
∫₀² 2x dx का मान निकालें।
उत्तर: 4
- Antiderivative: x²
- [x²]₀² = 4 − 0 = 4
मुख्य बात: Antiderivative ढूँढें, ऊपर और नीचे का मान डालें, घटाएँ।
∫₁² 3x² dx का मान निकालें।
उत्तर: 7
- Antiderivative: x³
- [x³]₁² = 8 − 1 = 7
मुख्य बात: गुणांक (coefficient) 3 की वजह से, antiderivative सीधा x³ बनता है।
∫₀¹ (2x+1) dx का मान निकालें।
उत्तर: 2
- Antiderivative: x²+x
- [x²+x]₀¹ = (1+1) − 0 = 2
मुख्य बात: हर पद (term) का antiderivative अलग-अलग ढूँढें और जोड़ें।