समाकल (Integral) — क्षेत्रफल का संचयन
“समाकल है 'पतला काटो और सब जोड़ दो'।”
सूत्र
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ)·Δxकैसे पढ़ें: अंतराल को पतली आयतों में काटकर उनके क्षेत्रफलों को जोड़ें, फिर उनकी चौड़ाई को 0 की ओर ले जाने पर सीमा निकालें = वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
- Δx
- — प्रत्येक पतली आयत की चौड़ाई
- f(xᵢ)
- — प्रत्येक आयत की ऊँचाई
- Σ ... lim
- — सबको जोड़ें, फिर चौड़ाई को 0 की ओर ले जाने पर सीमा निकालें
- ∫
- — लंबा किया हुआ S, जिसका मतलब है 'जोड़ो'
शुरुआत
समाकल का चिह्न ∫ देखने में डरावना लगता है, पर इसका मतलब बस एक ही है — 'पतला काटो और सब जोड़ दो'।
सरल शब्दों में
किसी वक्र के नीचे का क्षेत्रफल, जिसे बहुत सारी संकरी आयतों से भरकर उनके क्षेत्रफल जोड़े जाते हैं। उनकी चौड़ाई को 0 की ओर ले जाने पर सटीक क्षेत्रफल मिलता है।
अंतर्ज्ञान
एक ऊबड़-खाबड़ छत के नीचे की जगह को पतली ईंटों से भरने की कल्पना करें। मोटी ईंटें एक मोटा अनुमान देती हैं; जितनी पतली ईंटें उतना ही कुल जोड़ असली क्षेत्रफल के करीब आता है। ∫ वही 'अनंत रूप से पतला जोड़' है।
कैसे बनता है
हर टुकड़े का क्षेत्रफल = ऊँचाई f(xᵢ) × चौड़ाई Δx। इन सबको जोड़ने पर रीमान योग (Riemann sum) Σf(xᵢ)Δx मिलता है। चौड़ाई Δx को 0 की ओर ले जाने पर मिलने वाली सीमा ही समाकल है।
उदाहरण
y=x के नीचे x=0 से 2 तक का क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार 2 और ऊँचाई 2 है, इसलिए ½·2·2 = 2। समाकल के रूप में जोड़ने पर भी यही 2 मिलता है।
आम ग़लतफ़हमी
समाकल केवल 'अवकलन का उल्टा' नहीं है। वह तो बस इसे निकालने का एक सुविधाजनक तरीका है; असल में यह 'पतले टुकड़ों के क्षेत्रफलों का जोड़' है।
कहाँ उपयोग होता है
क्षेत्रफल, आयतन, तय की गई दूरी, संचित प्रायिकता, कार्य (ऊर्जा) — जहाँ भी 'थोड़ा-थोड़ा जोड़कर बना कुल योग' चाहिए वहाँ।
कहाँ से आया
आर्किमिडीज़ पहले ही वक्रों के नीचे टुकड़े काटकर क्षेत्रफल निकाल रहे थे (क्षय विधि / method of exhaustion)। दो हज़ार साल बाद न्यूटन और लाइबनिट्स ने इसे अवकलन से जोड़ा।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
समाकल चिह्न ∫ का क्या मतलब है?
- गुणा करना
- पतला काटकर जोड़ना✓
- अवकलन करना
- भाग देना
अभ्यास
y=x के नीचे x=0 से 4 तक का क्षेत्रफल (एक त्रिभुज) कितना है?
उत्तर: 8
- आधार 4 और ऊँचाई 4 वाला एक समकोण त्रिभुज
- ½·4·4 = 8
मुख्य बात: सीधी रेखा के नीचे का क्षेत्रफल ज्यामिति के सूत्र से भी जाँचा जा सकता है।
y=3 (एक अचर) के नीचे x=0 से 5 तक का क्षेत्रफल (एक आयत) कितना है?
उत्तर: 15
- ऊँचाई 3 और चौड़ाई 5 वाली एक आयत
- 3·5 = 15
मुख्य बात: किसी अचर का समाकल बस एक आयत का क्षेत्रफल है।
y=x के नीचे 0–2 पर, चौड़ाई-1 वाली दो आयतों (दाएँ छोर की ऊँचाई) से क्षेत्रफल का अनुमान लगाएँ। इसकी तुलना असली क्षेत्रफल 2 से करें।
उत्तर: undefined
- दाएँ छोर की ऊँचाइयाँ: x=1 पर 1, x=2 पर 2
- क्षेत्रफलों का जोड़ = 1·1 + 1·2 = 3
- असली 2 से बड़ा — मोटे टुकड़े ज़्यादा अनुमान देते हैं
मुख्य बात: मोटे टुकड़े अनुमान देते हैं; पतले टुकड़े असली मान के करीब पहुँचते हैं।