सीमाएँ
“सीमा पहुँचने के रास्ते को मापती है, पहुँचने को नहीं।”
सूत्र
lim(x→a) f(x) = Lकैसे पढ़ें: वह मान L जिसकी ओर f(x) बढ़ता है जब x को a के मनचाहे करीब ले जाया जाए
- x→a
- — x, a के करीब पहुँचता है (मनचाहा करीब, पर कभी बराबर नहीं)
- f(x)
- — उस बिंदु पर फलन का मान
- L
- — वह मान जिसके करीब f(x) पहुँचता है (सीमा)
शुरुआत
सीमा यह नहीं पूछती कि 'वहाँ मान क्या है' — यह पूछती है कि 'वहाँ तक पहुँचते-पहुँचते यह किस ओर बढ़ता है'।
सरल शब्दों में
x को किसी मान a के लगातार करीब ले जाएँ, और देखें कि फलन किस संख्या की ओर भीड़ जमाता है।
अंतर्ज्ञान
आप बिना वहाँ असल में पहुँचे भी, बस पहुँचने के रास्ते को देखकर मंज़िल का नाम बता सकते हैं। कोहरे में चलते हुए, अगर हर संकेत-पट्टी एक ही जगह की ओर इशारा करे, तो वही जगह सीमा है।
कैसे बनता है
यहाँ मायने रखता है x=a के आसपास का व्यवहार, न कि x=a पर मान। भले ही वह बिंदु एक छेद (hole) हो, अगर दोनों तरफ से एक ही संख्या के करीब पहुँचा जाए, तो सीमा का अस्तित्व है।
उदाहरण
(x²−1)/(x−1), x=1 पर 0/0 है, इसलिए वहाँ यह अपरिभाषित है। पर यह सरल होकर x+1 बन जाता है, और x को 1 के करीब ले जाने पर मान 2 की ओर बढ़ता है → सीमा 2 है।
आम ग़लतफ़हमी
सीमा और असली मान अलग-अलग हो सकते हैं। x=1 पर फलन परिभाषित ही नहीं है, फिर भी सीमा एकदम स्पष्ट 2 है।
कहाँ उपयोग होता है
अवकलज, समाकल, सांतत्य (continuity), अनंत श्रेणियाँ — पूरा कैलकुलस सीमा के इस एक विचार पर खड़ा है।
कहाँ से आया
1600 के दशक में लोग 'अनंत रूप से छोटी राशियों' की बात हाथ हिलाकर करते थे। 1800 के दशक में कॉशी और वाइरश्ट्रास ने सीमा को कठोरता से परिभाषित किया, जिसने कैलकुलस को उसकी नींव दी।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
lim(x→3) (x²−9)/(x−3) क्या है?
- 0
- 3
- 6✓
- 9
अभ्यास
lim(x→2) (x²−4)/(x−2) निकालें।
उत्तर: 4
- अंश का गुणनखंड करें: x²−4 = (x−2)(x+2)
- काटें → x+2 (x≠2 के लिए)
- x=2 रखें → 4
मुख्य बात: जब 0/0 मिले, तो काटकर छेद को भरें, फिर मान रखें।
lim(x→0) (3x+1) निकालें।
उत्तर: 1
- यह फलन हर जगह सुगम (smooth) है
- बस x=0 रखें → 1
मुख्य बात: जब कोई छेद न हो, तो सीमा बस मान रखने पर मिला परिणाम है।
क्या lim(x→0) 1/x का अस्तित्व है? अपनी नोटबुक में लिखें कि बाईं और दाईं ओर से क्या होता है।
उत्तर: undefined
- दाईं ओर से (x→0⁺): 1/x → +∞
- बाईं ओर से (x→0⁻): 1/x → −∞
- दोनों तरफ अलग-अलग मान मिलते हैं, इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है
मुख्य बात: अगर दोनों तरफ अलग-अलग मानों की ओर बढ़ते हैं, तो कोई सीमा नहीं है।