फूरियर श्रेणी
“फूरियर श्रेणी यह घोषणा है कि 'सबसे जटिल तरंग भी शुद्ध टोन (sine और cosine) का योग है'।”
सूत्र
f(x) = a₀/2 + Σₙ (aₙ cos nx + bₙ sin nx)कैसे पढ़ें: कोई भी दोहराव वाली तरंग को अलग-अलग आवृत्तियों के sine और cosine शुद्ध टोन को सही मात्रा में जोड़कर बनाया जा सकता है
- aₙ, bₙ
- — हर आवृत्ति की मात्रा (गुणांक) — 'उस शुद्ध टोन का कितना हिस्सा मिला हुआ है'
- n
- — हार्मोनिक संख्या — मूल आवृत्ति का कितना गुना
- a₀/2
- — औसत (DC) स्तर — तरंग की ऊपर-नीचे केंद्र ऊंचाई
शुरुआत
चाहे कितनी भी टेढ़ी-मेढ़ी और जटिल हो, एक दोहराव वाली तरंग असल में सही मात्रा में जमाए गए कई चिकनी sine तरंगों का ही रूप है — यही फूरियर की चौंकाने वाली खोज थी।
सरल शब्दों में
एक आवर्ती फलन को ठीक-ठीक sine और cosine के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिनकी आवृत्तियां एक मूल आवृत्ति की पूर्णांक गुणज होती हैं। आपको बस यह तय करना है कि हर शुद्ध टोन कितनी मात्रा में जाए (गुणांक aₙ, bₙ)।
अंतर्ज्ञान
एक ऑर्केस्ट्रा की तरह सोचें — एक समृद्ध स्वर-समूह कई वाद्य-यंत्रों के शुद्ध टोन का ओवरलैप है। फूरियर श्रेणी इसका उल्टा करती है: यह किसी दी गई जटिल तरंग को सुनकर उसे 'हर शुद्ध टोन कितनी मात्रा में मौजूद है' में तोड़ती है। कम आवृत्तियां चौड़ी रूपरेखा ले जाती हैं; ऊंची आवृत्तियां तीखी बारीकियां (कोने) ले जाती हैं।
कैसे बनता है
हर पद aₙcos nx + bₙsin nx आयाम aₙ, bₙ वाला आवृत्ति n का एक शुद्ध टोन है। बड़ा n मतलब तेज़ी से हिलती हुई ऊंची पिच। इनमें से अनंत जोड़ने पर मूल तरंग तक पहुंच जाती है (श्रेणी का अभिसरण)। a₀/2 पद समग्र औसत ऊंचाई (कोई भी ऊपर-नीचे ऑफसेट) तय करता है।
उदाहरण
±1 के बीच झूलती एक वर्गाकार तरंग केवल विषम आवृत्तियों से बनती है: f(x) = (4/π)(sin x + (1/3)sin 3x + (1/5)sin 5x + …)। पहले पद का आयाम 4/π ≈ 1.27 है, अगला उसका 1/3 है, फिर 1/5… जैसे-जैसे पद जोड़ते हैं, चिकनी sine तरंगें तीखे कोनों वाली वर्गाकार तरंग के करीब पहुंचती जाती हैं।
आम ग़लतफ़हमी
यह शक होना स्वाभाविक है कि 'चिकनी sine तरंगें तीखा कोना कैसे बना सकती हैं?'। सीमित संख्या में पद ठीक-ठीक कोना नहीं बना सकते (कोने के पास एक छोटा उभार बना रहता है — गिब्स परिघटना), लेकिन अनंत योग मनमाने रूप से करीब अभिसरित होता है। चिकनाई का योग तीखापन पैदा करता है।
कहाँ उपयोग होता है
MP3 और JPEG संपीड़न (केवल महत्वपूर्ण आवृत्तियां रखना), ऑडियो और इमेज प्रोसेसिंग, विद्युत परिपथों में सिग्नल विश्लेषण, ऊष्मा समीकरण हल करना, क्वांटम यांत्रिकी में तरंग-फलन — सिग्नलों को 'आवृत्ति की भाषा' में अनुवाद करने का सार्वभौमिक औज़ार।
कहाँ से आया
1807 में जोसेफ फूरियर ने ऊष्मा प्रवाह हल करते हुए दावा किया कि 'किसी भी फलन को त्रिकोणमितीय फलनों के योग के रूप में लिखा जा सकता है'। समकालीनों (लाग्रांज और अन्य) ने उन पर अविश्वास किया, लेकिन इसने अंततः विश्लेषण के एक युग की शुरुआत की।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
फूरियर श्रेणी किसी फलन को किसके योग के रूप में बनाती है?
- बहुपद
- sine और cosine✓
- केवल घातांकीय फलन
- यादृच्छिक शोर
अभ्यास
वर्गाकार-तरंग की फूरियर श्रेणी (4/π)(sin x + sin3x/3 + sin5x/5 + …) में, कौन-सी आवृत्तियां (हार्मोनिक्स) दिखाई देती हैं?
उत्तर: 2
- पद संख्याएं 1, 3, 5, … हैं यानी केवल विषम
- सम हार्मोनिक्स (sin 2x, sin 4x…) का गुणांक 0 है
- तो केवल विषम हार्मोनिक्स
मुख्य बात: समरूपता के कारण, वर्गाकार तरंग को केवल विषम आवृत्तियों की ज़रूरत होती है।
वर्गाकार-तरंग श्रेणी (4/π)(sin x + …) में, पहले पद sin x का आयाम (गुणांक) ज्ञात करें।
उत्तर: 1.27
- पहले पद का गुणांक 4/π है
- 4 ÷ 3.14159… ≈ 1.273
मुख्य बात: पहली (मूल) आवृत्ति का आयाम सबसे बड़ा है: 4/π ≈ 1.27।
±1 के बीच सममित रूप से झूलती वर्गाकार तरंग का औसत मान (DC घटक a₀/2) ज्ञात करें।
उत्तर: 0
- +1 पर बिताया समय और −1 पर बिताया समय बिल्कुल बराबर हैं
- औसत = (+1 + (−1))/2 = 0
मुख्य बात: ऊपर-नीचे सममित तरंग का औसत (a₀/2) 0 होता है — जिसे केवल sine से व्यक्त किया जा सकता है।
अपनी नोटबुक में समझाएं कि अनंत चिकनी sine तरंगें जोड़ने से वर्गाकार तरंग का 'तीखा कोना' कैसे बनता है।
उत्तर: undefined
- कम आवृत्तियां चौड़ी रूपरेखा ले जाती हैं; ऊंची आवृत्तियां तेज़ बदलाव (कोने) ले जाती हैं
- अधिक पद जोड़ने से किनारा और तीखा होता जाता है, एक सीढ़ी के करीब पहुंचते हुए
- सीमित योग कोने के पास एक छोटा उभार छोड़ता है (गिब्स परिघटना), लेकिन अनंत योग मनमाने रूप से करीब अभिसरित होता है
मुख्य बात: ऊंची-आवृत्ति के पद मिलकर 'तेज़ बदलाव = एक कोना' गढ़ते हैं — जितना अधिक जोड़ेंगे, उतना तीखा।