त्रिकोणमितीय फलन
“त्रिकोणमितीय फलन घूमते हुए एक बिंदु की ऊँचाई और चौड़ाई हैं।”
सूत्र
sin²θ + cos²θ = 1कैसे पढ़ें: इकाई वृत्त पर, किसी बिंदु का ऊर्ध्वाधर निर्देशांक sinθ है और क्षैतिज cosθ, और उनके वर्ग हमेशा जोड़ने पर 1 देते हैं
- sinθ
- — इकाई वृत्त पर बिंदु का ऊर्ध्वाधर निर्देशांक (ऊँचाई)
- cosθ
- — इकाई वृत्त पर बिंदु का क्षैतिज निर्देशांक (आधार)
- tanθ
- — sinθ/cosθ — उस बिंदु तक जाने वाली रेखा की ढलान
शुरुआत
त्रिकोणमितीय फलन असल में 'वृत्त पर घूमते हुए एक बिंदु की परछाई' हैं — एक कोण डालें और उसमें से एक ऊँचाई (sin) और एक चौड़ाई (cos) निकल आती है।
सरल शब्दों में
त्रिज्या 1 के वृत्त पर, θ कोण घूमने के बाद, बिंदु की ऊर्ध्वाधर स्थिति sinθ है और क्षैतिज स्थिति cosθ है। tanθ इन दोनों का अनुपात है।
अंतर्ज्ञान
त्रिज्या-1 वाली एक छड़ी को मूल बिंदु के चारों ओर θ कोण से घुमाएँ। इसकी नोक की ऊँचाई sin है, वह बग़ल में कितनी गई cos है। जैसे-जैसे θ बढ़ता है, बिंदु घूमता रहता है और दोनों मान −1 और 1 के बीच लहर की तरह ऊपर-नीचे होते हैं — इसीलिए त्रिकोणमितीय फलन तरंगें बनते हैं।
कैसे बनता है
बिंदु के निर्देशांक (cosθ, sinθ) हैं। यह त्रिज्या-1 वृत्त पर है, इसलिए पाइथागोरस से (क्षैतिज)²+(ऊर्ध्वाधर)² = 1², यानी sin²θ+cos²θ=1। हर त्रिकोणमितीय सर्वसमिका इसी एक वृत्त से निकलती है।
उदाहरण
θ=30° पर, sin30°=1/2 और cos30°=√3/2। जाँचें: (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1। सर्वसमिका ठीक से सत्य है।
आम ग़लतफ़हमी
sin²θ का मतलब (sinθ)² है, sin(θ²) नहीं। और sin(A+B) ≠ sinA + sinB — कोण के अंदर आप बस बाँट नहीं सकते।
कहाँ उपयोग होता है
ध्वनि, प्रकाश, और धारा की तरंगें; लोलक और स्प्रिंग का झूलना; वृत्तीय गति; त्रिकोणासन से दूरी नापना — जो कुछ भी घूमता या दोलन करता है, उस सबका गणित।
कहाँ से आया
'साइन' शब्द धनुष की डोरी के लिए संस्कृत शब्द (ज्या) से निकला है, जो अरबी के रास्ते लैटिन के sinus ('खाड़ी, मोड़') में गलत अनुवाद हो गया, और यह नाम टिक गया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
sin 30° क्या है?
- 1/2✓
- √3/2
- 1
- 0
अभ्यास
sin 90° पता करें।
उत्तर: 1
- 90° वृत्त का शीर्ष है, बिंदु (0,1)
- ऊर्ध्वाधर निर्देशांक 1 है → sin 90° = 1
मुख्य बात: sin वृत्त पर बिंदु की 'ऊँचाई' है।
cos 60° पता करें।
उत्तर: 0.5
- 60° पर क्षैतिज निर्देशांक
- cos 60° = 1/2 = 0.5
मुख्य बात: cos वृत्त पर बिंदु की 'चौड़ाई' है।
tan 45° पता करें।
उत्तर: 1
- tan 45° = sin45°/cos45° = (√2/2)/(√2/2)
- = 1
मुख्य बात: 45° पर ऊँचाई चौड़ाई के बराबर होती है, इसलिए ढलान 1 है।
गणना करके सत्यापित करें कि θ=30° पर sin²θ + cos²θ = 1 सत्य है।
उत्तर: undefined
- sin30°=1/2, cos30°=√3/2
- (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4
- = 1
मुख्य बात: यह सर्वसमिका त्रिज्या-1 वृत्त पर पाइथागोरस ही है।