त्रिकोणमितीय अनुपात
“त्रिकोणमितीय अनुपात एक परिवर्तक हैं जो कोण को भुजाओं के अनुपात में बदल देते हैं।”
सूत्र
sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adjकैसे पढ़ें: समकोण त्रिभुज में, कोण θ के सापेक्ष, सम्मुख भुजा, समीपवर्ती भुजा, और कर्ण के अनुपात
- sin θ
- — θ के सम्मुख भुजा ÷ कर्ण
- cos θ
- — θ के समीपवर्ती भुजा ÷ कर्ण
- tan θ
- — θ के सम्मुख भुजा ÷ θ के समीपवर्ती भुजा (= ढलान)
शुरुआत
किसी पहाड़ की ऊँचाई या नदी की चौड़ाई जिसे आप सीधे नहीं नाप सकते — आप उसे एक कोण और एक अनुपात से निकालते हैं। यही त्रिकोणमिति है।
सरल शब्दों में
समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण θ चुनें, और उसकी भुजाओं के बीच के अनुपात केवल उस कोण से तय होते हैं। वे अनुपात sin, cos, और tan हैं।
अंतर्ज्ञान
समरूप समकोण त्रिभुजों की भुजाओं के 'अनुपात' अलग-अलग आकार में भी समान रहते हैं। इसलिए जब तक θ समान है, त्रिभुज बड़ा हो या छोटा, sin, cos, tan एक जैसे रहते हैं। कोण ही 'भुजाओं का अनुपात' तय करता है।
कैसे बनता है
θ के सापेक्ष तीनों भुजाओं के नाम रखें — सम्मुख (rise), समीपवर्ती (base), कर्ण। sin सम्मुख/कर्ण है, cos समीपवर्ती/कर्ण है, tan सम्मुख/समीपवर्ती है। tan उस कोण की 'ढलान' भी है।
उदाहरण
3-4-5 वाले समकोण त्रिभुज में, मान लें θ लंबाई 3 वाली भुजा के सम्मुख कोण है: sin θ = 3/5 = 0.6, cos θ = 4/5 = 0.8, tan θ = 3/4 = 0.75।
आम ग़लतफ़हमी
sin और cos में 'सम्मुख' और 'समीपवर्ती' को गड़बड़ाना आसान है। मुख्य बात यह है कि कौन सी भुजा सम्मुख है और कौन समीपवर्ती, यह इस पर निर्भर करता है कि संदर्भ कोण θ कहाँ है।
कहाँ उपयोग होता है
त्रिकोणासन से पहाड़ों की ऊँचाई और दूरियाँ नापना, ढलान की तीव्रता, कंपन, तरंगें, ध्वनि, यहाँ तक कि कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में घूर्णन — कोणों और लंबाइयों के बीच का पुल।
कहाँ से आया
प्राचीन यूनानी और भारतीय खगोलविदों ने क्षितिज के ऊपर तारों के कोणों से दूरियाँ नापने के लिए 'ज्या सारणी' बनाई — त्रिकोणमिति की शुरुआत।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
sin 30° का मान क्या है?
- 0.5✓
- 0.707
- 0.866
- 1
अभ्यास
tan 45° का मान क्या है?
उत्तर: 1
- 45° एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से आता है — सम्मुख और समीपवर्ती भुजाएँ बराबर हैं
- tan 45° = सम्मुख/समीपवर्ती = 1/1 = 1
मुख्य बात: tan का 1 होना मतलब सम्मुख समीपवर्ती के बराबर है — एक 45° ढलान।
3-4-5 वाले समकोण त्रिभुज में, मान लें θ लंबाई 3 वाली भुजा के सम्मुख कोण है। cos θ क्या है?
उत्तर: 0.8
- θ के सम्मुख = 3, θ के समीपवर्ती = 4, कर्ण = 5
- cos θ = समीपवर्ती/कर्ण = 4/5
- = 0.8
मुख्य बात: cos 'समीपवर्ती ÷ कर्ण' है — संदर्भ कोण को छूने वाली भुजा चुनें।
sin 60° का मान अनुमानित रूप में पता करें। अपनी नोटबुक में लिखें कि यह √3/2 क्यों है।
उत्तर: 0.87
- भुजा 2 वाले समबाहु त्रिभुज को आधा काटकर 30°-60°-90° त्रिभुज बनाएँ
- कर्ण 2, आधार 1, ऊँचाई √3
- sin 60° = ऊँचाई/कर्ण = √3/2 ≈ 0.866
मुख्य बात: 30°-60°-90° त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 1 : √3 : 2 है — याद रखने लायक।