समरूपता
“समरूपता है 'वही आकृति, अलग आकार' — वह आकार का फर्क ही पैमाना गुणक है।”
सूत्र
a : a' = b : b' = c : c' = kकैसे पढ़ें: संगत भुजाओं के अनुपात सब बराबर होते हैं — वही स्थिर अनुपात k पैमाना गुणक (scale factor) है
- a, b, c / a', b', c'
- — दोनों आकृतियों की संगत भुजाएँ
- k
- — संगत भुजाओं की लंबाई का अनुपात (पैमाना गुणक)
शुरुआत
अलग-अलग आकार होने पर भी, 'वही आकृति' होना गणित एक ही अनुपात से सटीकता से पकड़ लेता है।
सरल शब्दों में
दो आकृतियों का समरूप होना यानी सभी संगत कोण बराबर हों और सभी संगत भुजाएँ एक-दूसरे की समान गुणा (k गुना) हों।
अंतर्ज्ञान
किसी फोटो को ज़ूम इन या आउट करने के बारे में सोचें। हर हिस्सा एक ही गुणक से बड़ा या छोटा होता है, इसलिए आकृति वही रहती है। वह 'एक स्थिर गुणक' ही पैमाना गुणक k है। कोण ज़ूम चाहे जो भी हो, स्थिर रहते हैं।
कैसे बनता है
यह दो हिस्सों में बँटता है — ① सभी संगत कोण बराबर (आकृति सुरक्षित रहती है), ② सभी संगत भुजाओं के अनुपात k के बराबर (सिर्फ आकार बदलता है)। और सबसे अहम, अगर लंबाई k गुना बढ़ती है, तो क्षेत्रफल k² गुना बढ़ता है।
उदाहरण
पैमाना गुणक 2 वाले दो त्रिभुज: अगर छोटे की एक भुजा 3 है, तो बड़े की संगत भुजा 6 है। क्षेत्रफल 2 से नहीं बल्कि 2² = 4 से बढ़ता है।
आम ग़लतफ़हमी
पैमाना गुणक 2 का मतलब यह नहीं कि क्षेत्रफल दुगना हो जाता है। लंबाई k से बढ़ती है, क्षेत्रफल k² से, आयतन k³ से। लोग अक्सर यह 'k की घात' वाला फर्क चूक जाते हैं।
कहाँ उपयोग होता है
नक्शे के पैमाने, असली वस्तु बनाम स्केल मॉडल, छाया से पेड़ की ऊँचाई नापना, स्क्रीन के रेज़ॉल्यूशन को ज़ूम करना — जहाँ भी आकार बदलता है पर आकृति सुरक्षित रहती है।
कहाँ से आया
कहा जाता है कि थेल्स ने छायाओं के अनुपात का इस्तेमाल कर एक पिरामिड की ऊँचाई नापी थी — समरूपता के इस्तेमाल का सबसे पुराना दर्ज उदाहरण।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
पैमाना गुणक 3 वाली दो आकृतियों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है?
- 3
- 6
- 9✓
- 27
अभ्यास
दो त्रिभुजों का पैमाना गुणक 2 : 3 है। अगर छोटे त्रिभुज की एक भुजा 6 है, तो बड़े की संगत भुजा क्या है?
उत्तर: 9
- संगत भुजाएँ स्थिर अनुपात 2 : 3 रखती हैं
- 6 : x = 2 : 3 → 2x = 18 → x = 9
मुख्य बात: संगत भुजाएँ हमेशा एक ही अनुपात रखती हैं — एक अनुपात-समीकरण से हल हो जाता है।
पैमाना गुणक 1 : 4 वाली दो आकृतियों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है?
उत्तर: 2
- क्षेत्रफल का अनुपात पैमाना गुणक का वर्ग होता है
- 1² : 4² = 1 : 16
मुख्य बात: क्षेत्रफल पैमाना गुणक का वर्ग है — लंबाई 4 गुना तो क्षेत्रफल 16 गुना।
पैमाना गुणक 1 : 2 वाले दो घनों के आयतनों का अनुपात क्या है? अपने नोटपैड पर लिखें क्यों।
उत्तर: undefined
- आयतन पैमाना गुणक का घन होता है
- 1³ : 2³ = 1 : 8
- क्योंकि लंबाई (1D) k से, क्षेत्रफल (2D) k² से, आयतन (3D) k³ से बढ़ता है
मुख्य बात: हर आयाम बढ़ने पर पैमाना गुणक की घात एक-एक करके बढ़ती है।