पाइथागोरस प्रमेय
“एक समकोण त्रिभुज में, दो भुजाएँ जानने से तीसरी तय हो जाती है।”
सूत्र
a² + b² = c²कैसे पढ़ें: एक समकोण त्रिभुज में, दोनों भुजाओं का वर्ग करके जोड़ने पर कर्ण का वर्ग मिलता है
- a, b
- — समकोण बनाने वाली दो भुजाएँ
- c
- — सबसे लंबी भुजा, समकोण के सामने वाली (कर्ण)
- a², b², c²
- — हर भुजा पर बने वर्ग का क्षेत्रफल
शुरुआत
सिर्फ एक समकोण होने पर, तीसरी भुजा को नापने के बजाय बाकी दो से निकाला जा सकता है।
सरल शब्दों में
एक समकोण त्रिभुज में, दोनों छोटी भुजाओं का वर्ग करके जोड़ें, तो ठीक कर्ण के वर्ग के बराबर आता है।
अंतर्ज्ञान
तीनों भुजाओं में से हर एक पर एक वर्ग बनाएँ। दो छोटे वर्गों के क्षेत्रफल (a², b²) मिलकर बड़े वर्ग (c²) को ठीक-ठीक भर देते हैं। यह लंबाइयों का नहीं, बल्कि 'क्षेत्रफलों के संतुलन' का रिश्ता है।
कैसे बनता है
यहाँ कुंजी समकोण है। सिर्फ जब कोण 90° हो, तभी दोनों भुजाओं के वर्गों का जोड़ कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। कर्ण c हमेशा समकोण के सामने होता है — सबसे लंबी भुजा।
उदाहरण
अगर दोनों भुजाएँ 3 और 4 हों, तो 3² + 4² = 9 + 16 = 25। कर्ण है √25 = 5। इसीलिए 3-4-5 सबसे मशहूर समकोण त्रिभुज है।
आम ग़लतफ़हमी
कर्ण की जगह किसी भी भुजा को मत रख दीजिए। c हमेशा 'समकोण के सामने वाली, सबसे लंबी भुजा' होती है। और यह वर्गों का रिश्ता है, a + b = c नहीं।
कहाँ उपयोग होता है
नक्शे पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी, स्क्रीन का विकर्ण आकार, इमारत के सीधे होने की जाँच, निर्देशांक तल पर दूरी का सूत्र — जहाँ भी 'सीधी-रेखा दूरी' चाहिए, लगभग वहीं।
कहाँ से आया
इसका नाम पाइथागोरस के नाम पर है, पर बेबीलोनवासी, मिस्री, चीनी, और भारतीय इस रिश्ते को हज़ारों साल पहले से जानते और इस्तेमाल करते थे।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
भुजाओं 6 और 8 वाले समकोण त्रिभुज में कर्ण क्या है?
- 10✓
- 12
- 14
- 48
अभ्यास
भुजाओं 5 और 12 वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण क्या है?
उत्तर: 13
- 5² + 12² = 25 + 144 = 169
- कर्ण = √169 = 13
मुख्य बात: 5-12-13 एक और पूर्णांक वाला समकोण त्रिभुज है जो अक्सर दिखता है।
एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 13 है और एक भुजा 5 है। दूसरी भुजा क्या है?
उत्तर: 12
- जब कर्ण मालूम हो, तो घटाएँ: b² = c² − a²
- b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
- b = √144 = 12
मुख्य बात: कर्ण और एक भुजा मालूम होने पर घटाएँ — जोड़ें नहीं।
भुजा 1 वाले वर्ग का विकर्ण क्या है? (एक अनुमानित मान दें)
उत्तर: 1.41
- विकर्ण, भुजाओं 1 और 1 वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है
- 1² + 1² = 2, तो विकर्ण = √2
- √2 ≈ 1.414
मुख्य बात: वर्ग का विकर्ण उसकी भुजा का √2 गुना होता है — एक अपरिमेय, अंतहीन संख्या।