वर्गमूल
“वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग 'उलट' दिया गया है।”
सूत्र
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)कैसे पढ़ें: जो अऋणात्मक संख्या b वर्ग करने पर a देती है, वही a का वर्गमूल √a है
- √a
- — वह अऋणात्मक संख्या जो वर्ग करने पर a देती है (धनात्मक वर्गमूल)
- b² = a
- — b को वर्ग करने पर मूल संख्या a वापस मिलती है
- √
- — करणी चिह्न (radical) — 'वर्ग को उलटने' का प्रतीक
शुरुआत
वर्गमूल वर्ग करने की क्रिया को उलट देता है — यह पूछता है 'इस संख्या को पाने के लिए मुझे किसे वर्ग करना होगा?'
सरल शब्दों में
जब किसी संख्या का वर्ग a मिलता है, तो वह संख्या a का वर्गमूल है। √a वह है जो 0 या धनात्मक हो।
अंतर्ज्ञान
क्षेत्रफल a वाला एक वर्ग सोचें। एक भुजा की लंबाई ठीक √a है। क्षेत्रफल 9 वाले वर्ग की भुजा 3 है, इसलिए √9 = 3।
कैसे बनता है
वर्ग करना (□²) आगे की क्रिया है; मूल निकालना (√□) उसे उलट देता है। एक-दूसरे के व्युत्क्रम होने के कारण वे रद्द हो जाते हैं: (√a)² = a और √(b²) = b (b≥0 के लिए)।
उदाहरण
√9 लें। चूँकि 3² = 9, √9 = 3 — यह क्षेत्रफल 9 वाले वर्ग की भुजा 3 होने जैसा ही है।
आम ग़लतफ़हमी
√9 का मान 3 है, ±3 नहीं। करणी चिह्न √ हमेशा केवल अऋणात्मक मान की ओर इशारा करता है। 9 का वर्गमूल दो संख्याएँ हैं (±3), पर प्रतीक √9 का मतलब सिर्फ एक मान 3 है।
कहाँ उपयोग होता है
पाइथागोरस प्रमेय से दूरियाँ निकालना, आकृतियों की भुजाओं की लंबाई, मानक विचलन, और कई भौतिकी सूत्र — जहाँ भी आपको वर्ग को उलटना हो।
कहाँ से आया
कहा जाता है कि करणी चिह्न √ लैटिन शब्द radix ('मूल') के 'r' अक्षर से बना है, जो किसी संख्या की 'जड़' खोदने के भाव को लिए हुए है।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
√16 क्या है?
- 2
- 4✓
- 8
- 256
अभ्यास
√36 क्या है?
उत्तर: 6
- वह अऋणात्मक संख्या खोजें जो वर्ग करने पर 36 देती है
- 6² = 36 → √36 = 6
मुख्य बात: वह मान खोजें जो वर्ग करने पर वह संख्या दे।
√81 क्या है?
उत्तर: 9
- 9² = 81
- → √81 = 9
मुख्य बात: अपने वर्गों को जानना वर्गमूल उजागर कर देता है।
(√7)² क्या है?
उत्तर: 7
- वर्ग करना और वर्गमूल निकालना एक-दूसरे को रद्द करते हैं
- (√7)² = 7
मुख्य बात: वर्गमूल का वर्ग करने पर अंदर की संख्या वापस मिल जाती है।
√10 किन दो पूर्णांकों के बीच स्थित है? कारण लिखें।
उत्तर: undefined
- 3² = 9, 4² = 16
- 9 < 10 < 16, इसलिए 3 < √10 < 4
- √10, 3 और 4 के बीच है (लगभग 3.16)
मुख्य बात: निकटतम पूर्ण वर्गों का उपयोग कर मूल का अनुमान लगाएँ।