संख्याएँ और संक्रियाएँ
21 अवधारणाएँ
स्थानीय मान
किसी अंक का मान इस पर निर्भर करता है कि वह किस स्थान पर है।
भिन्न क्या है
एक ऐसी संख्या जो बताती है कि पूरे को कितने बराबर हिस्सों में काटा गया है (हर) और आपके पास कितने हैं (अंश)।
दशमलव क्या है
एक संख्या जो एक (1) से छोटे हिस्से लिखने के लिए बिंदु (दशमलव बिंदु) के दाईं ओर स्थान जोड़ती है।
a/c ± b/c = (a ± b)/cभिन्नों का जोड़ और घटाव
जब टुकड़े एक ही आकार के हों (हर समान हो), तो बस टुकड़ों की संख्या (अंश) जोड़ें या घटाएं।
गुणा और भाग
गुणा एक ही संख्या को बार-बार जोड़ना है; भाग बराबर बाँटना या समूहों की संख्या गिनना है।
a : b = a ÷ bअनुपात और दर
अनुपात दो मात्राओं की तुलना 'यह से वह' के रूप में करता है; दर उसे भाग देकर एक संख्या में बदल देती है।
p = (a ÷ b) × 100प्रतिशत
एक संख्या जो बताती है कि पूर्ण को 100 मानने पर भाग कितना होगा। % चिह्न का मतलब है '100 में से'।
N = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖअभाज्य गुणनखंडन
एक संख्या को केवल अभाज्य संख्याओं — 2, 3, 5, 7 और आगे — के गुणनफल में तोड़ना।
संख्या रेखा पर पूर्णांक
धनात्मक पूर्णांक, 0, और ऋणात्मक पूर्णांक — सबको एक ही रेखा पर क्रम से रखा जाता है। बड़ी संख्या दाईं ओर, छोटी संख्या बाईं ओर।
|a| = a (a ≥ 0), |a| = −a (a < 0)निरपेक्ष मान
कोई संख्या 0 से कितनी दूर है। दिशा (चिह्न) को छोड़ दें और सिर्फ़ दूरी रखें।
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)परिमेय संख्याओं का अंकगणित
पूर्णांकों और भिन्नों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने, और भाग देने के नियम। कुंजी है पहले चिह्न तय करना, फिर आकार निकालना।
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿघातांक के नियम
एक घात वही संख्या है जिसे कई बार गुणा किया गया हो। इन्हें गुणा या भाग करें, तो आप बस घातांकों को जोड़ या घटाते हैं।
√a = b ⇔ b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)वर्गमूल
जब किसी संख्या का वर्ग a मिलता है, तो वह संख्या a का वर्गमूल है। √a वह है जो 0 या धनात्मक हो।
अपरिमेय एवं वास्तविक संख्याएँ
जिन संख्याओं को भिन्न (पूर्णांक/पूर्णांक) के रूप में लिखा जा सकता है, वे परिमेय (rational) हैं; जिन्हें नहीं लिखा जा सकता, वे अपरिमेय (irrational) हैं। दोनों मिलकर वास्तविक संख्याएँ (real numbers) बनाती हैं।
0.ddd… = d/9, 0.abab… = ab/99आवर्ती दशमलव
ऐसा दशमलव जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों का एक ही खंड हमेशा दोहराता रहे। इसे हमेशा वापस भिन्न में बदला जा सकता है।
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × bम.स.प. और ल.स.प.
म.स.प. वह सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों को विभाजित करती है; ल.स.प. वह सबसे छोटी संख्या है जो दोनों की गुणज है — जहां उनकी गुणज पहली बार मिलती हैं।
i² = −1, z = a + biसम्मिश्र संख्याएँ
एक नई संख्या i लाएँ जिसका वर्ग −1 हो, और हर संख्या को a+bi के रूप में लिखा जा सकता है, एक वास्तविक भाग a जमा एक काल्पनिक भाग bi। यही सम्मिश्र संख्या है।
(G, ∗): ① a∗b ∈ G ② (a∗b)∗c = a∗(b∗c) ③ a∗e = e∗a = a ④ a∗a⁻¹ = eसमूह: सममिति की भाषा
एक समूह एक समुच्चय और एक संक्रिया है, जहां संक्रिया चार नियमों का पालन करती है: (1) परिणाम कभी बाहर नहीं जाता (संवृतता), (2) समूहीकरण मायने नहीं रखता (साहचर्यता), (3) एक कुछ-न-करने वाला तत्समक होता है, और (4) हर अवयव का एक प्रतिलोम होता है जो उसे पलट देता है।
a ≡ b (mod n) ⟺ n | (a − b)मॉड्यूलर अंकगणित
मॉड्यूलर अंकगणित वह अंकगणित है जो किसी संख्या n के बाद वापस 0 पर लपट जाता है। दो संख्याएँ 'सर्वांगसम' कहलाती हैं अगर n से भाग देने पर उनका शेषफल बराबर हो, इसे a ≡ b (mod n) लिखा जाता है। केवल शेषफल मायने रखता है।
e^(iθ) = cos θ + i sin θ, e^(iπ) + 1 = 0सम्मिश्र तल और यूलर का सूत्र
किसी सम्मिश्र संख्या a+bi को तल में एक बिंदु (या तीर) के रूप में देखें, तो आपको सम्मिश्र तल मिलता है। यूलर का सूत्र e^(iθ)=cos θ+i sin θ कहता है कि सम्मिश्र घातांकी e^(iθ) एकांक वृत्त पर कोण θ से घुमाया गया बिंदु है। संक्षेप में: एक काल्पनिक घातांक का मतलब है घुमाव।
|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| = ℵ₀ < |ℝ|गणनीय अनंत (Countable Infinity)
अगर किसी अनंत समुच्चय के सभी अवयवों को 1,2,3,… क्रम में गिना जा सके, कोई छूटे नहीं, तो वह 'गणनीय अनंत' है। प्राकृत संख्याएँ, पूर्णांक, और परिमेय संख्याएँ — सब इसमें आते हैं। फिर भी वास्तविक संख्याओं को इस तरह गिनना सैद्धांतिक रूप से भी संभव नहीं है — वे बड़ा अनंत हैं।
ऐप में सीखते रहें
इंटरैक्टिव विजेट, स्व-मूल्यांकित अभ्यास और रोज़ का सूत्र — iOS और Android पर मुफ़्त।