सम्मिश्र संख्याएँ
“i एक '90° का मोड़' है, और दो बार मुड़ने पर आप −1 पर पहुँच जाते हैं।”
सूत्र
i² = −1, z = a + biकैसे पढ़ें: एक संख्या i लाएँ जिसका वर्ग −1 हो, और z को एक वास्तविक भाग a और एक काल्पनिक भाग b से बनाएँ
- i
- — काल्पनिक इकाई — एक संख्या जिसका वर्ग −1 है
- a
- — वास्तविक भाग — z का 'वास्तविक' हिस्सा
- bi
- — काल्पनिक भाग — एक वास्तविक b गुणा i
शुरुआत
'कोई संख्या ऋणात्मक का वर्गमूल नहीं देती' इस दीवार का सामना होने पर, गणितज्ञों ने बस एक ऐसी संख्या गढ़ ली जो देती है — काल्पनिक इकाई i।
सरल शब्दों में
एक नई संख्या i लाएँ जिसका वर्ग −1 हो, और हर संख्या को a+bi के रूप में लिखा जा सकता है, एक वास्तविक भाग a जमा एक काल्पनिक भाग bi। यही सम्मिश्र संख्या है।
अंतर्ज्ञान
वास्तविक संख्याएँ एक 1D संख्या-रेखा पर रहती हैं। सम्मिश्र संख्याएँ एक दूसरा अक्ष (काल्पनिक अक्ष) जोड़ती हैं और एक 2D तल में फैल जाती हैं। i से गुणा करने पर एक बिंदु उस तल में 90° घूम जाता है — इसलिए i से दो बार गुणा करने पर (180° का घुमाव) दिशा पलट जाती है और −1 पर पहुँच जाती है।
कैसे बनता है
एक सम्मिश्र संख्या z=a+bi के दो हिस्से हैं — वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग b। वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़कर योग करें; वितरण नियम से गुणा करें, और जब भी i² आए, इसे −1 से बदल दें। यही एक नियम i²=−1 हर गणना चलाता है।
उदाहरण
(2+i)(2−i) = 2² − (i)² = 4 − i² = 4 − (−1) = 4 + 1 = 5। काल्पनिक भाग ग़ायब हो जाता है और एक साफ़ वास्तविक संख्या बचती है।
आम ग़लतफ़हमी
i कोई 'नक़ली संख्या जो अस्तित्व में नहीं है' नहीं है। 'काल्पनिक' नाम भ्रमित करता है, लेकिन सम्मिश्र संख्याएँ इलेक्ट्रॉनिक्स और क्वांटम यांत्रिकी में वास्तविक भौतिक राशियों को संभालने के लिए ज़रूरी औज़ार हैं।
कहाँ उपयोग होता है
प्रत्यावर्ती धारा और सिग्नल प्रोसेसिंग, क्वांटम यांत्रिकी, तरल और विद्युतचुंबकीय सिमुलेशन, फ्रैक्टल — सम्मिश्र संख्याएँ वहाँ चमकती हैं जहाँ घुमाव और तरंगें आपस में जुड़ी हों।
कहाँ से आया
1500 के दशक में कार्डानो घन समीकरण हल करते हुए ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल से मिले; लंबे समय तक 'काल्पनिक' कहकर ख़ारिज होने के बाद, यूलर और गाउस के ज़रिए ये सम्मानित संख्याएँ बन गईं।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
i² क्या है?
- 1
- −1✓
- i
- −i
अभ्यास
(3 + 2i) + (1 + 4i) का वास्तविक भाग ज्ञात करें।
उत्तर: 4
- वास्तविक भाग जोड़ें: 3 + 1 = 4
- (काल्पनिक भाग 2+4=6i है)
मुख्य बात: सम्मिश्र संख्याओं को वास्तविक और काल्पनिक भागों में अलग-अलग जोड़ें।
i⁴ का मान ज्ञात करें।
उत्तर: 1
- i⁴ = (i²)² = (−1)²
- = 1
मुख्य बात: i की घातें हर 4 कदम पर वापस चक्कर लगाती हैं।
(2 + i)(2 − i) का मान ज्ञात करें।
उत्तर: 5
- वर्गों का अंतर: 2² − i²
- = 4 − (−1) = 5
मुख्य बात: एक सम्मिश्र संख्या को उसके संयुग्म से गुणा करने पर वास्तविक संख्या मिलती है।
i³ ज्ञात करें और अपने चरण दिखाएँ।
उत्तर: undefined
- i³ = i²·i
- = (−1)·i = −i
मुख्य बात: एक नियम i²=−1, i की हर घात हल कर देता है।