द्विघात समीकरण
“द्विघात समीकरण के हल वहाँ हैं जहाँ परवलय x-अक्ष से मिलता है।”
सूत्र
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)कैसे पढ़ें: द्विघात के दोनों मूल a, b, c को द्विघात सूत्र में डालने से मिलते हैं
- a, b, c
- — x², x, और अचर पद के गुणांक (a ≠ 0)
- b² − 4ac
- — विविक्तकर (discriminant) — यह मूलों की संख्या तय करता है
- ±
- — वह चिह्न जो एक साथ दोनों मूल देता है
शुरुआत
कुछ द्विघात समीकरण गुणनखंडित नहीं होते — और जब नहीं होते, द्विघात सूत्र वह मास्टर-की है जो हमेशा काम करती है।
सरल शब्दों में
x² वाला एक समीकरण, ax²+bx+c=0। इसके अधिकतम दो हल होते हैं, और a, b, c को द्विघात सूत्र में डालने से वे हमेशा मिल जाते हैं।
अंतर्ज्ञान
y=ax²+bx+c का ग्राफ एक परवलय है। जहाँ यह x-अक्ष को काटता है, वे x-निर्देशांक ठीक समीकरण के मूल हैं — दो बार काटे तो दो मूल, छूकर निकल जाए तो एक, बिल्कुल न मिले तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
कैसे बनता है
अगर गुणनखंडित हो सके, तो 'दो कोष्ठकों में से एक को 0 होना चाहिए' का उपयोग कर तेज़ी से हल करें। अगर नहीं, तो द्विघात सूत्र इस्तेमाल करें। मूल के नीचे का b²−4ac (विविक्तकर) मूलों की संख्या बताता है — धनात्मक होने पर दो, शून्य होने पर एक, ऋणात्मक होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं।
उदाहरण
x²−2x−3=0 → (x−3)(x+1)=0 → x=3 या x=−1, क्योंकि गुणनफल के 0 होने के लिए दोनों में से एक कोष्ठक 0 होना चाहिए।
आम ग़लतफ़हमी
'अगर एक गुणनखंड 0 है तो गुणनफल 0 है' यह तभी काम करता है जब दूसरी तरफ 0 हो — इसे (x−1)(x−2)=6 पर सीधे इस्तेमाल नहीं कर सकते (पहले 0 के रूप में लाएँ)। और अगर विविक्तकर ऋणात्मक है तो कोई (वास्तविक) हल नहीं।
कहाँ उपयोग होता है
फेंकी गई वस्तु की ऊँचाई, तय क्षेत्रफल वाले खेत की भुजा, अधिकतम लाभ का बिंदु — जहाँ भी एक वर्ग दिखे, वहीं द्विघात समीकरण आता है।
कहाँ से आया
इस सूत्र की जड़ें प्राचीन बेबीलोनियाई क्षेत्रफल समस्याओं तक जाती हैं; पूरा बीजगणितीय सूत्र कई सभ्यताओं में तराशा गया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
x² − 5x + 6 = 0 के दोनों मूल क्या हैं?
- 2 और 3✓
- −2 और −3
- 1 और 6
- 2 और −3
अभ्यास
x² − 4 = 0 का धनात्मक मूल निकालें।
उत्तर: 2
- x² = 4
- x = 2 या x = −2
- धनात्मक मूल 2 है
मुख्य बात: x²=k देता है ±√k — दोनों चिह्न रखें।
x² − 7x + 10 = 0 का बड़ा मूल निकालें।
उत्तर: 5
- +10 से गुणा और −7 पर जोड़ बनाने वाली दो संख्याएँ: −2 और −5 → (x − 2)(x − 5) = 0
- x = 2 या x = 5
- बड़ा मूल 5 है
मुख्य बात: अगर गुणनखंडित हो जाए, तो सूत्र के बिना तेज़ी से हल हो जाता है।
x² − 6x + 9 = 0 का मूल (एक दोहराया मूल) निकालें।
उत्तर: 3
- (x − 3)² = 0
- x = 3 (दोनों मूल एक हो जाते हैं)
मुख्य बात: एक पूर्ण वर्ग एक दोहराया मूल देता है (विविक्तकर 0)।
x² + 2x − 1 = 0 को द्विघात सूत्र से हल करें।
उत्तर: undefined
- a=1, b=2, c=−1 → b²−4ac = 4 + 4 = 8
- x = (−2 ± √8)/2 = (−2 ± 2√2)/2
- x = −1 ± √2
मुख्य बात: जब गुणनखंडित न हो, सूत्र हमेशा हल दे देता है।