बीजगणित
18 अवधारणाएँ
2x + 3चर और व्यंजक
'किसी संख्या को दुगुना करो और 3 जोड़ो' को अक्षर x के साथ संक्षेप में 2x+3 लिखा गया।
ax + b = 0 → x = −b/aरैखिक समीकरण
एक समता (equality) जो x के ठीक एक मान के लिए सत्य होती है। उस मान को खोजना ही 'समीकरण हल करना' कहलाता है।
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂रैखिक समीकरणों का निकाय
दोनों अज्ञातों को एक साथ संतुष्ट करने वाला एक जोड़ा (x, y) खोजना। उत्तर को एक ही बिंदु तक सीमित करने के लिए आपको दो समीकरणों की ज़रूरत होती है।
ax + b > 0रैखिक असमिकाएँ
एक कथन जो बताता है कि x किसी चीज़ से बड़ा या छोटा है। उत्तर एक संख्या नहीं, एक 'परिसर' होता है।
y = ax + bरैखिक फलन और उनके ग्राफ
एक नियम जिसमें x डालने पर y = 'a गुणा x जमा b' निकलता है। इसका ग्राफ बनाने पर हमेशा एक सीधी रेखा मिलती है।
(a + b)² = a² + 2ab + b²गुणन सर्वसमिकाएँ
(a+b)², a²+b² नहीं है; बीच में एक 2ab घुस जाता है, जिससे यह a²+2ab+b² बनता है।
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)गुणनखंडन
x²+5x+6 जैसी किसी चीज़ को (x+2)(x+3) जैसे 'दो व्यंजकों के गुणनफल' में बदलना। यह विस्तार की ठीक उल्टी प्रक्रिया है।
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)द्विघात समीकरण
x² वाला एक समीकरण, ax²+bx+c=0। इसके अधिकतम दो हल होते हैं, और a, b, c को द्विघात सूत्र में डालने से वे हमेशा मिल जाते हैं।
y = a(x − p)² + qद्विघात फलन
y = a(x−p)² + q। ग्राफ एक परवलय है, और शीर्ष (p, q) इसकी 'नुकीली नोक' है (सबसे ऊँचा या सबसे नीचा बिंदु)।
y = aˣ ⇔ x = logₐ yघातांकीय और लघुगणकीय फलन
aˣ, a को खुद से x बार गुणा करता है; logₐ y पूछता है 'y तक पहुंचने के लिए a को कितनी बार गुणा करना होगा?'। घातांक और लघुगणक एक-दूसरे को पलट देते हैं।
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹समान्तर और गुणोत्तर श्रेणी
समान्तर श्रेणी हर बार पिछले पद में एक स्थिर संख्या d जोड़ती है; गुणोत्तर श्रेणी हर बार पिछले पद को एक स्थिर संख्या r से गुणा करती है।
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2सिग्मा नोटेशन और श्रेणी
Σ एक आदेश है: 'नीचे वाले मान से ऊपर वाले मान तक डालो और सबको जोड़ दो'। Σₖ₌₁ⁿ k, 1 से n तक का जोड़ है।
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼआव्यूह (Matrices)
आव्यूह संख्याओं को पंक्तियों और स्तंभों में सजाता है। दो आव्यूहों को गुणा करने के लिए, आप 'बाएँ की पंक्ति' को 'दाएँ के स्तंभ' के साथ जोड़ी बनाकर गुणा करते हैं और जोड़ते हैं।
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏद्विपद प्रमेय
जब आप (a+b)ⁿ को फैलाते हैं, तो हर पद का गुणांक ₙCₖ होता है — यानी n कोष्ठकों में से k में से b चुनने के तरीकों की संख्या।
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)रैखिक रूपांतरण (Linear Transformations)
रैखिक रूपांतरण तल (या समष्टि) के हर बिंदु को हिलाता है, जबकि ग्रिड रेखाओं को सीधा, समान दूरी पर, और मूल बिंदु (origin) को स्थिर रखता है। इस व्यवस्थित गति को एक अकेला आव्यूह पूरी तरह पकड़ लेता है।
Av = λv (v ≠ 0); det(A − λI) = 0आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर (Eigenvalues & Eigenvectors)
ट्रांसफ़ॉर्मेशन A लगाने पर ज़्यादातर सदिशों की दिशा बदल जाती है। पर कुछ खास सदिश v अपनी दिशा बनाए रखते हैं और सिर्फ़ एक गुणक λ से scale होते हैं। ऐसा v एक eigenvector है, और गुणक λ उसका eigenvalue है।
u, v ∈ V, a, b ∈ ℝ ⟹ a·u + b·v ∈ Vसदिश समष्टि
सदिश समष्टि एक ऐसा समुच्चय है जिसके अवयव जोड़ने या किसी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर कभी बाहर नहीं निकलते। इन दोनों संक्रियाओं को बस कुछ स्वाभाविक नियमों का पालन करना होता है।
det([[a, b], [c, d]]) = ad − bcसारणिक (Determinant)
2×2 आव्यूह [[a,b],[c,d]] का सारणिक ad − bc है। यह संख्या बताती है कि यह आव्यूह किसी भी आकृति के क्षेत्रफल को किस गुणक (factor) से scale करता है।
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