रैखिक रूपांतरण (Linear Transformations)
“आव्यूह एक क्रिया है, संज्ञा नहीं — एक गति जो समष्टि को हिलाती है।”
सूत्र
T(v) = Av, T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = c·T(u)कैसे पढ़ें: एक ऐसा मानचित्रण (map) जो किसी बिंदु v को आव्यूह (matrix) A से गुणा करके हिलाता है, और जोड़ तथा स्केलिंग को सुरक्षित रखता है
- A
- — वह आव्यूह जो मानचित्रण को परिभाषित करता है — इसके स्तंभ (columns) दिखाते हैं कि आधार सदिश (basis vectors) कहाँ पहुँचते हैं
- T(u+v)=T(u)+T(v)
- — योज्यता (additivity) — पहले हिलाकर जोड़ना, पहले जोड़कर हिलाने के बराबर है
- T(cu)=c·T(u)
- — स्केलिंग — पहले खींचकर हिलाना, पहले हिलाकर खींचने के बराबर है
शुरुआत
आव्यूह संख्याओं की एक तालिका भर नहीं है — यह एक ऐसी गति है जो पूरे समष्टि (space) को एक साथ हिला देती है।
सरल शब्दों में
रैखिक रूपांतरण तल (या समष्टि) के हर बिंदु को हिलाता है, जबकि ग्रिड रेखाओं को सीधा, समान दूरी पर, और मूल बिंदु (origin) को स्थिर रखता है। इस व्यवस्थित गति को एक अकेला आव्यूह पूरी तरह पकड़ लेता है।
अंतर्ज्ञान
एक रबर की ग्रिड की कल्पना करें। रैखिक रूपांतरण इसे खींच सकता है, घुमा सकता है, या तिरछा कर सकता है, पर कभी मोड़ता या फाड़ता नहीं। सीधी रेखाएँ सीधी रहती हैं और समानांतर रेखाएँ समानांतर रहती हैं। चौंकाने वाली बात यह है: बस यह जानना कि आधार सदिश (1,0) और (0,1) कहाँ जाते हैं, हर बिंदु की मंज़िल तय कर देता है — और वे दो मंज़िलें ठीक आव्यूह के दो स्तंभ हैं।
कैसे बनता है
दो नियम ही सब कुछ हैं: योज्यता T(u+v)=T(u)+T(v) और स्केलिंग T(cu)=cT(u)। ये दोनों मिलकर आपको किसी भी सदिश को आधार सदिशों के संयोजन में तोड़ने, हर एक को हिलाने, और जोड़ने की सुविधा देते हैं — यही वजह है कि आव्यूह-सदिश गुणनफल Av ही रूपांतरण है।
उदाहरण
A=[[2,0],[0,3]], x में 2 गुना और y में 3 गुना खींचता है। बिंदु (1,1), (2·1, 3·1)=(2,3) पर जाता है। इसके स्तंभ (2,0) और (0,3) ही (1,0) और (0,1) की मंज़िलें हैं।
आम ग़लतफ़हमी
यह भ्रांति कि आव्यूह गुणन 'रटने का एक नियम' है। असल में इसका अटपटा नियम रूपांतरणों को एक के बाद एक लागू करने का स्वाभाविक परिणाम है — इसीलिए क्रम मायने रखता है (AB ≠ BA)।
कहाँ उपयोग होता है
कंप्यूटर ग्राफिक्स में घुमाव, स्केलिंग और प्रक्षेपण (projection), रोबोट भुजाओं के लिए निर्देशांक परिवर्तन, डेटा साइंस में आयाम-न्यूनीकरण (PCA), भौतिकी में फ्रेम बदलना — जहाँ भी समष्टि को व्यवस्थित रूप से नया आकार दिया जाता है, वहाँ रैखिक रूपांतरण मौजूद हैं।
कहाँ से आया
केली ने 1800 के दशक के मध्य में आव्यूह को 'रूपांतरण दर्ज करने वाली तालिकाओं' के रूप में प्रस्तुत किया। समीकरण हल करने का एक औज़ार आखिरकार समष्टि की गतियों के लिए संकेतन (notation) निकला।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
आव्यूह [[0,−1],[1,0]] को सदिश (1,0) पर लागू करें। (यह आव्यूह 90° घुमाव है।)
- (1,0)
- (0,1)✓
- (−1,0)
- (0,−1)
अभ्यास
A=[[2,0],[0,2]] को (3,5) पर लागू करें; प्रतिबिंब का x-घटक निकालें।
उत्तर: 6
- x-घटक = 2·3 + 0·5
- = 6
मुख्य बात: विकर्ण आव्यूह हर अक्ष को अपनी प्रविष्टि (entry) जितना खींचता है।
श्रग (shear) A=[[1,1],[0,1]] को (2,3) पर लागू करें; प्रतिबिंब का x-घटक निकालें।
उत्तर: 5
- x-घटक = 1·2 + 1·3
- = 5 (y-घटक 3 ही रहता है)
मुख्य बात: श्रग ऊँचाई के अनुपात में बगल में खिसकाता है।
A=[[3,0],[0,3]] को (4,4) पर लागू करें; प्रतिबिंब का y-घटक निकालें।
उत्तर: 12
- y-घटक = 0·4 + 3·4
- = 12
मुख्य बात: 3-गुना स्केल करने वाला आव्यूह हर बिंदु को मूल बिंदु से 3 गुना दूर धकेलता है।
अपनी नोटबुक में समझाएँ कि (1,0) और (0,1) कहाँ जाते हैं यह जानना, हर बिंदु के जाने की जगह क्यों तय कर देता है।
उत्तर: undefined
- कोई भी बिंदु (a,b) = a·(1,0) + b·(0,1)
- योज्यता और स्केलिंग से, T(a,b) = a·T(1,0) + b·T(0,1)
- इसलिए दोनों आधार मंज़िलें ही सब कुछ तय करती हैं
मुख्य बात: रैखिकता = हिस्सों (आधार) को जानो, पूरा अपने आप पीछे-पीछे आता है।