सदिश
“सदिश एक तीर है: 'कितना' और 'किस दिशा' दोनों।”
सूत्र
|v| = √(x² + y²)कैसे पढ़ें: किसी सदिश का परिमाण उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जो उसके क्षैतिज भाग x और ऊर्ध्वाधर भाग y से बनता है
- v
- — एक सदिश — परिमाण और दिशा दोनों वाली एक राशि
- (x, y)
- — सदिश के घटक (क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर मात्राएँ)
- |v|
- — सदिश का परिमाण (लंबाई)
शुरुआत
वेग, बल, हवा — कुछ राशियों को 'कितना' के अलावा 'किस दिशा में' भी चाहिए होता है। यही सदिश है।
सरल शब्दों में
सदिश एक तीर है जो परिमाण और दिशा दोनों लिए होता है। x बग़ल में और y ऊपर जाना (x,y) लिखा जाता है।
अंतर्ज्ञान
सदिश एक 'गति' है, 'जगह' नहीं। यह कहीं से भी शुरू हो, 3 दायें और 4 ऊपर जाने वाला तीर वही सदिश है। दो सदिश जोड़ने का मतलब है दूसरे तीर को पहले की नोक पर जोड़ना — इसीलिए आप बस घटक-दर-घटक जोड़ते हैं।
कैसे बनता है
सदिश (x,y) का परिमाण मूल बिंदु से उस बिंदु तक की दूरी है — एक समकोण त्रिभुज का कर्ण, तो पाइथागोरस से √(x²+y²)। जोड़ घटकवार काम करता है: (x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂, y₁+y₂)।
उदाहरण
v=(3,4) का परिमाण √(3²+4²)=√(9+16)=√25=5 है। 3 दायें और 4 ऊपर जाने वाला तीर ठीक 5 लंबा है।
आम ग़लतफ़हमी
सदिश का परिमाण x+y नहीं होता। (3,4) का आकार 5 है, 7 नहीं — यह एक विकर्ण लंबाई है, इसलिए आपको वर्ग करना, जोड़ना, फिर मूल निकालना होगा।
कहाँ उपयोग होता है
भौतिकी में बल, वेग, त्वरण; गेम्स में पात्र की गति; नेविगेशन दिशाएँ; 3D ग्राफ़िक्स — जहाँ भी आप 'दिशात्मक राशियों' से निपटते हैं।
कहाँ से आया
सदिश का विचार 19वीं सदी की भौतिकी में (ख़ासकर विद्युतचुंबकत्व में) बल और वेग संभालने के लिए निखारा गया; हैमिल्टन और गिब्स ने आज का संकेतन तय किया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
सदिश (3, 4) का परिमाण क्या है?
- 5✓
- 7
- 12
- 25
अभ्यास
सदिश (6, 8) का परिमाण पता करें।
उत्तर: 10
- √(6² + 8²) = √(36 + 64)
- = √100 = 10
मुख्य बात: परिमाण घटकों को वर्ग करता है, जोड़ता है, फिर मूल निकालता है।
सदिश (1, 2) + (3, 4) का x-घटक पता करें।
उत्तर: 4
- घटक-दर-घटक जोड़ें
- x-घटक: 1 + 3 = 4
मुख्य बात: सदिश जोड़ घटक-दर-घटक होता है।
सदिश (5, 0) का परिमाण पता करें।
उत्तर: 5
- √(5² + 0²) = √25
- = 5
मुख्य बात: किसी एक अक्ष के अनुदिश सदिश का परिमाण उस घटक के बराबर होता है।
समझाएँ कि (−3, 4) का परिमाण (3, 4) के बराबर क्यों है।
उत्तर: undefined
- |(−3,4)| = √((−3)² + 4²) = √(9+16) = 5
- वर्ग करने से चिह्न हट जाता है
- केवल दिशा अलग है; लंबाई वही है
मुख्य बात: परिमाण दिशा (चिह्न) छोड़ देता है और केवल लंबाई मापता है।