निर्देशांक तल में दूरी
“निर्देशांक दूरी का सूत्र बस पाइथागोरस प्रमेय है।”
सूत्र
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)कैसे पढ़ें: दो बिंदुओं के बीच की दूरी क्षैतिज अंतर के वर्ग और ऊर्ध्वाधर अंतर के वर्ग के जोड़ का वर्गमूल है
- x₂ − x₁
- — दोनों बिंदुओं के बीच क्षैतिज (x) अंतर
- y₂ − y₁
- — दोनों बिंदुओं के बीच ऊर्ध्वाधर (y) अंतर
- d
- — दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई (सीधी रेखा की दूरी)
शुरुआत
ग्रिड पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी असल में पाइथागोरस प्रमेय ही है, बस सीधे लागू की गई।
सरल शब्दों में
दोनों बिंदुओं के बीच क्षैतिज अंतर और ऊर्ध्वाधर अंतर निकालें, ये मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं; बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उसका कर्ण (hypotenuse) है। इसलिए दूरी = √(क्षैतिज² + ऊर्ध्वाधर²)।
अंतर्ज्ञान
दोनों बिंदुओं के बीच एक सीढ़ी खींचिए — आर-पार (x₂−x₁), और ऊपर (y₂−y₁)। ये दोनों भुजाएँ समकोण पर मिलती हैं, और हमें चाहिए वाली 'सीधी' दूरी इनका कर्ण है। दूरी का सूत्र दरअसल पाइथागोरस है, बस भेस में।
कैसे बनता है
① क्षैतिज अंतर x₂−x₁, ② ऊर्ध्वाधर अंतर y₂−y₁। ③ हर एक का वर्ग करके जोड़ें, यह कर्ण का वर्ग है, ④ दूरी के लिए वर्गमूल लें। वर्ग करने से चिह्न (sign) मिट जाता है, इसलिए कोई भी बिंदु पहले घटाएँ, फ़र्क नहीं पड़ता।
उदाहरण
(0, 0) और (3, 4) के बीच दूरी: क्षैतिज अंतर 3, ऊर्ध्वाधर अंतर 4 → √(3² + 4²) = √25 = 5। यह फिर वही 3-4-5 समकोण त्रिभुज है।
आम ग़लतफ़हमी
वर्ग करने से पहले घटाना भूल जाना, या x को y के साथ मिला देना (x-को-x और y-को-y की जगह) गलती करा देता है। साथ ही, चूँकि वर्ग करने से चिह्न मिट जाता है, (x₁−x₂) की तरह घटाने पर भी वही परिणाम मिलता है।
कहाँ उपयोग होता है
मानचित्र ऐप में दो जगहों के बीच सीधी दूरी, गेम पात्रों के बीच का फ़ासला, डेटा विश्लेषण में दो बिंदु कितने 'पास' हैं यह मापना — जहाँ भी निर्देशांक हों।
कहाँ से आया
जब देकार्त ने आकृतियों को निर्देशांकों पर रखा (analytic geometry), तो पहले रूलर और कम्पास से नापी जाने वाली दूरियाँ कुछ ऐसी बन गईं जिन्हें आप हिसाब लगाकर निकाल सकते थे।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
बिंदु (0, 0) और (6, 8) के बीच दूरी क्या है?
- 10✓
- 14
- 48
- 100
अभ्यास
बिंदु (1, 1) और (4, 5) के बीच दूरी क्या है?
उत्तर: 5
- क्षैतिज अंतर: 4 − 1 = 3, ऊर्ध्वाधर अंतर: 5 − 1 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25
- = 5
मुख्य बात: पहले क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतर निकालें, फिर बस पाइथागोरस है।
बिंदु (2, 3) और (2, 7) के बीच दूरी क्या है?
उत्तर: 4
- क्षैतिज अंतर: 2 − 2 = 0, ऊर्ध्वाधर अंतर: 7 − 3 = 4
- d = √(0² + 4²) = √16 = 4
मुख्य बात: समान x का मतलब है बिंदु सिर्फ़ ऊर्ध्वाधर दिशा में अलग हैं — बस y का अंतर।
(0, 0) और (2, 2) के बीच दूरी का सन्निकट (approximate) मान ज्ञात करें।
उत्तर: 2.83
- क्षैतिज अंतर 2, ऊर्ध्वाधर अंतर 2
- d = √(2² + 2²) = √8 = 2√2
- 2√2 ≈ 2.83
मुख्य बात: जो दूरी साफ़ नहीं निकलती वह अपरिमेय (irrational) होती है — सन्निकट मान से उत्तर दें।