आव्यूह (Matrices)
“आव्यूह गुणनफल 'बाईं पंक्तियों' को 'दाएँ स्तंभों' से जोड़ी बनाकर जोड़ता है।”
सूत्र
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼकैसे पढ़ें: आव्यूह गुणनफल की हर प्रविष्टि, बाएँ आव्यूह की पंक्ति i को दाएँ आव्यूह के स्तंभ j से गुणा करके परिणामों को जोड़ती है
- A, B
- — आव्यूह — एक आयत में सजी संख्याएँ
- (AB)ᵢⱼ
- — गुणनफल AB की पंक्ति i, स्तंभ j की प्रविष्टि
- aᵢₖ, bₖⱼ
- — A की पंक्ति i और B के स्तंभ j की वे प्रविष्टियाँ जो जोड़ी बनाती हैं
शुरुआत
आव्यूह बस एक बक्से में सजी संख्याएँ है, फिर भी एक गुणन नियम इसे घुमाव, रूपांतरण, और समीकरणों के निकाय — सबको एक साथ संभालने देता है।
सरल शब्दों में
आव्यूह संख्याओं को पंक्तियों और स्तंभों में सजाता है। दो आव्यूहों को गुणा करने के लिए, आप 'बाएँ की पंक्ति' को 'दाएँ के स्तंभ' के साथ जोड़ी बनाकर गुणा करते हैं और जोड़ते हैं।
अंतर्ज्ञान
जोड़ और स्केलिंग आसान हैं — आप बस मेल खाती स्थितियों को संभालते हैं। गुणन खास है: बाएँ आव्यूह की एक पंक्ति दाएँ के एक स्तंभ पर 'उतरती' है, प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि गुणा करके जोड़ती है। यह नियम आपको एक ही झटके में कई समीकरणों को रूपांतरित करने देता है।
कैसे बनता है
प्रविष्टि aᵢⱼ का मतलब है पंक्ति i, स्तंभ j। AB की (i,j) प्रविष्टि, A की पूरी पंक्ति i को B के पूरे स्तंभ j से क्रम में गुणा करके जोड़ती है। इसलिए गुणनफल के अस्तित्व के लिए बाएँ आव्यूह के स्तंभों की संख्या दाएँ आव्यूह की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
उदाहरण
[[1,2],[3,4]]×[[5,6],[7,8]], प्रविष्टि (1,1) = (1·5)+(2·7) = 5+14 = 19। बाकी को इसी तरह करने पर [[19,22],[43,50]] मिलता है।
आम ग़लतफ़हमी
AB और BA आमतौर पर अलग-अलग होते हैं — आव्यूह गुणन क्रम-विनिमेय (commutative) नहीं है। क्रम बदलने पर परिणाम बदल जाता है, या गुणनफल परिभाषित ही न हो।
कहाँ उपयोग होता है
कंप्यूटर ग्राफिक्स में घुमाव और स्केलिंग, रैखिक निकाय हल करना, सांख्यिकी में डेटा रूपांतरण, न्यूरल नेटवर्क के भीतर की अंकगणित — लगभग हर जगह जहाँ आप कई संख्याओं को एक साथ रूपांतरित करते हैं।
कहाँ से आया
केली ने 1800 के दशक में आव्यूह को औपचारिक रूप दिया; 'matrix' नाम लैटिन के एक शब्द से आया है जिसका अर्थ है 'गर्भ', यानी वह जिससे अन्य चीज़ें जन्म लेती हैं।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
आव्यूह A को तत्समक आव्यूह (identity matrix) I से गुणा करने पर क्या मिलता है?
- शून्य आव्यूह
- A बिना बदलाव के✓
- A का परिवर्त (transpose)
- हमेशा I
अभ्यास
[[2,1],[0,3]] + [[1,4],[5,2]] की (1,2) प्रविष्टि निकालें।
उत्तर: 5
- जोड़ प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि होता है
- (1,2) प्रविष्टि: 1 + 4 = 5
मुख्य बात: आव्यूह जोड़ मेल खाती स्थितियों को जोड़ता है।
3 × [[1,−2],[0,4]] (अदिश गुणज) की (2,2) प्रविष्टि निकालें।
उत्तर: 12
- अदिश गुणन हर प्रविष्टि को गुणा करता है
- (2,2) प्रविष्टि: 3·4 = 12
मुख्य बात: एक अदिश हर कोष्ठक (cell) को बराबर मात्रा में गुणा करता है।
[[1,2],[3,4]] × [[0,1],[1,0]] की (2,2) प्रविष्टि निकालें।
उत्तर: 3
- पंक्ति 2 (3,4) को स्तंभ 2 (1,0) से जोड़ी बनाएँ
- 3·1 + 4·0 = 3
मुख्य बात: गुणनफल पंक्ति-दर-स्तंभ, प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि गुणा करके जोड़ता है।
A=[[1,0],[0,0]] और B=[[0,1],[0,0]] के लिए, AB और BA निकालें और दिखाएँ कि वे अलग-अलग हैं।
उत्तर: undefined
- AB = [[0,1],[0,0]]
- BA = [[0,0],[0,0]]
- AB ≠ BA — गुणनफल का क्रम मायने रखता है
मुख्य बात: आव्यूह गुणनफल का क्रम बदलने से परिणाम बदल जाता है।