रैखिक समीकरणों का निकाय
“हल वह एक बिंदु है जहाँ दो रेखाएँ कटती हैं।”
सूत्र
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂कैसे पढ़ें: दोनों रैखिक समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करने वाला एक जोड़ा (x, y) खोजना
- x, y
- — एक साथ खोजे जाने वाले दो अज्ञात
- a₁, b₁, a₂, b₂
- — हर समीकरण के गुणांक
- (x, y)
- — दो रेखाओं का कटान बिंदु = हल
शुरुआत
दो अज्ञातों के साथ, एक समीकरण काफी नहीं है — यह उस एक बिंदु को खोजने का खेल है जहाँ दोनों शर्तें मिलती हैं।
सरल शब्दों में
दोनों अज्ञातों को एक साथ संतुष्ट करने वाला एक जोड़ा (x, y) खोजना। उत्तर को एक ही बिंदु तक सीमित करने के लिए आपको दो समीकरणों की ज़रूरत होती है।
अंतर्ज्ञान
हर रैखिक समीकरण तल पर एक सीधी रेखा है। जिस बिंदु पर दोनों रेखाएँ काटती हैं, वे निर्देशांक ही हल हैं — वह एक जगह जो दोनों शर्तों को एक साथ पूरा करती है।
कैसे बनता है
दो रास्ते। विलोपन (elimination): एक अज्ञात को मिटाने के लिए समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ। प्रतिस्थापन (substitution): एक समीकरण को y=… के रूप में लिखकर उसे पूरा दूसरे में डाल दें। दोनों ही तरीकों में, कुंजी एक ही अज्ञात तक सिमटना है।
उदाहरण
x+y=5, x−y=1। इन्हें जोड़ें: 2x=6 → x=3। वापस रखें: y=2। जोड़ा (3,2) दोनों समीकरणों को सत्य बनाता है।
आम ग़लतफ़हमी
हमेशा ठीक एक ही हल नहीं होता — अगर दोनों रेखाएँ समांतर हों तो वे कभी नहीं मिलतीं (कोई हल नहीं), और अगर वे पूरी तरह ओवरलैप करें तो अनंत हल होते हैं।
कहाँ उपयोग होता है
जहाँ भी दो चीज़ें उलझी हों — वयस्क बनाम बच्चों के टिकट, दो चीज़ों की कीमतें, गति और समय — वहाँ आप हर एक को अलग-अलग निकाल सकते हैं।
कहाँ से आया
अज्ञातों को विलोपित कर हल करने का विचार 2000 साल पहले चीन के 'नौ अध्यायों' में मिलता है, जहाँ इसे पहले से ही एक आव्यूह जैसी तालिका में दर्शाया गया था।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
x + y = 10 और x − y = 2 के लिए, x क्या है?
- 4
- 6✓
- 8
- 10
अभ्यास
x + y = 7 और x − y = 3 के लिए, x पता करें।
उत्तर: 5
- y को हटाने के लिए दोनों समीकरण जोड़ें: 2x = 10
- x = 5
मुख्य बात: विलोपन: एक अज्ञात मिटाने के लिए जोड़ें या घटाएँ।
y = 2x और x + y = 9 के लिए, y पता करें।
उत्तर: 6
- प्रतिस्थापित करें: x + 2x = 9 → 3x = 9 → x = 3
- y = 2·3 = 6
मुख्य बात: प्रतिस्थापन: एक अज्ञात को पूरा दूसरे समीकरण में डाल दें।
2x + y = 7 और x + y = 4 हल करें, फिर अपने उत्तर को दोनों समीकरणों में जाँचें।
उत्तर: undefined
- नीचे वाले को ऊपर वाले से घटाएँ: (2x+y) − (x+y) = 7 − 4 → x = 3
- x + y = 4 में प्रतिस्थापित करें: y = 1
- जाँच: 2·3+1 = 7 ✓, 3+1 = 4 ✓
मुख्य बात: जो (x, y) आप निकालें, वह 'दोनों' समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।