रैखिक समीकरण
“समीकरण हल करना है 'तराज़ू को बिना डगमगाए x को अकेला छोड़ना'।”
सूत्र
ax + b = 0 → x = −b/aकैसे पढ़ें: x में रैखिक समीकरण का हल है x = −b/a (जहाँ a ≠ 0)
- x
- — वह अज्ञात राशि जिसे आप निकाल रहे हैं
- a, b
- — दी गई संख्याएँ (a ≠ 0)
- x = −b/a
- — वह एकल मान जो समीकरण को सत्य बनाता है
शुरुआत
समीकरण एक पहेली है: 'x का कौन-सा मान इस तराज़ू को संतुलित रखता है?'
सरल शब्दों में
एक समता (equality) जो x के ठीक एक मान के लिए सत्य होती है। उस मान को खोजना ही 'समीकरण हल करना' कहलाता है।
अंतर्ज्ञान
एक तराज़ू की कल्पना करें। दोनों पलड़ों में एक ही चीज़ जोड़ने, घटाने, गुणा करने, या भाग देने पर संतुलन बना रहता है। इसी का उपयोग करके x को एक तरफ अकेला छोड़ें और उत्तर खुद-ब-खुद सामने आ जाता है।
कैसे बनता है
इसका रूप ax+b=0 होता है। b को दूसरी तरफ ले जाएँ (पक्षांतरण) और दोनों तरफ a से भाग दें, तो x=−b/a मिलता है। पक्षांतरण असल में 'दोनों तरफ से एक ही संख्या घटाने' का शॉर्टकट है।
उदाहरण
2x−6=0 → 6 को दाईं ओर भेजें: 2x=6 → दोनों तरफ 2 से भाग दें: x=3। जाँच: 2·3−6=0, सत्य।
आम ग़लतफ़हमी
पक्षांतरण करते समय चिह्न बदल जाता है — +6, दूसरी तरफ जाते ही −6 बन जाता है। चिह्न को बिना बदले ले जाना सबसे आम गलती है।
कहाँ उपयोग होता है
'किसी शर्त से पीछे जाकर एक अज्ञात राशि निकालने' वाली कोई भी समस्या — बकाया रकम, उम्र, गति, सांद्रता (concentration)। यह इन सबका ढाँचा है।
कहाँ से आया
'बीजगणित' (algebra) शब्द अल-ख़्वारिज़्मी की 9वीं सदी की किताब के शीर्षक 'अल-जब्र' से आया है — जो पदों को पुनर्स्थापित और पक्षांतरित करने का वही नियम है।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
4x + 12 = 0 का हल क्या है?
- −3✓
- 3
- −12
- 12
अभ्यास
x + 5 = 12 हल करें।
उत्तर: 7
- 5 का पक्षांतरण दाईं ओर करें: x = 12 − 5
- x = 7
मुख्य बात: पक्षांतरण चिह्न को बदल देता है।
3x − 4 = 2x + 5 हल करें।
उत्तर: 9
- x वाले और संख्याओं को इकट्ठा करें: 3x − 2x = 5 + 4
- x = 9
मुख्य बात: अज्ञात राशियाँ एक तरफ, संख्याएँ दूसरी तरफ।
2(x − 1) = x + 4 हल करें।
उत्तर: 6
- विस्तार करें: 2x − 2 = x + 4
- पक्षांतरण करें: 2x − x = 4 + 2
- x = 6
मुख्य बात: पहले कोष्ठक खोलें, फिर पक्षांतरण करें।
किसी संख्या का तीन गुना और 4 जोड़ने पर 19 मिलता है। समीकरण बनाकर वह संख्या निकालें।
उत्तर: undefined
- मान लें संख्या x है: 3x + 4 = 19
- 3x = 15
- x = 5
मुख्य बात: वाक्य को समीकरण में बदलना ही आधी लड़ाई है।