रैखिक असमिकाएँ
“असमिका का उत्तर एक परिसर है, बिंदु नहीं — ऋणात्मक से भाग दें तो दिशा बदल जाती है।”
सूत्र
ax + b > 0कैसे पढ़ें: x का वह परिसर (range) निकालें जिसके लिए रैखिक व्यंजक 0 से बड़ा (या छोटा) हो
- a, b
- — दी गई संख्याएँ (a ≠ 0)
- >
- — असमिका चिह्न — ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करने पर दिशा बदल जाती है
- x
- — शर्त पूरी करने वाले मानों का परिसर
शुरुआत
समीकरण 'ठीक इसी मान' को खोजता है; असमिका 'उससे बड़े या छोटे पूरे परिसर' को खोजती है।
सरल शब्दों में
एक कथन जो बताता है कि x किसी चीज़ से बड़ा या छोटा है। उत्तर एक संख्या नहीं, एक 'परिसर' होता है।
अंतर्ज्ञान
उत्तर संख्या रेखा पर एक अकेला बिंदु नहीं, बल्कि एक दिशा में फैलती किरण है। अगर x>2, तो 2 के दाईं ओर की हर चीज़ हल है।
कैसे बनता है
आप बिल्कुल समीकरण की तरह पक्षांतरण और व्यवस्थित करते हैं — बस एक अपवाद के साथ। दोनों तरफ किसी 'ऋणात्मक' संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका चिह्न बदल जाता है।
उदाहरण
2x−4>0 → 2x>4 → x>2। संख्या रेखा पर, 2 के दाईं ओर का पूरा क्षेत्र ही उत्तर है।
आम ग़लतफ़हमी
सबसे आम जाल: ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय चिह्न बदलना भूल जाना। −2x>4 को −2 से भाग देने पर x<−2 बनता है (> बदलकर < हो जाता है)।
कहाँ उपयोग होता है
किसी शर्त को पूरा करने वाले मानों का 'अंतराल' तय करना — 'कम से कम इतना कमाना', 'कितने खरीद सकता हूँ', 'सुरक्षित परिसर'।
कहाँ से आया
< और > चिह्नों का पहला प्रयोग 1600 के दशक में अंग्रेज़ हैरियट ने किया, और यह इस सहज बोध की बदौलत टिके रहे कि 'छोटा पक्ष नुकीले सिरे पर होता है'।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
−2x + 6 < 0 का हल क्या है?
- x > 3✓
- x < 3
- x > −3
- x < −3
अभ्यास
x + 4 < 9 का हल क्या है?
उत्तर: 0
- 4 का पक्षांतरण करें: x < 9 − 4
- x < 5
मुख्य बात: चिह्न वही रहता है — आप बस एक धनात्मक संख्या को स्थानांतरित कर रहे हैं।
−3x ≥ 9 का हल क्या है?
उत्तर: 1
- दोनों तरफ −3 से भाग दें → चिह्न बदल जाता है
- x ≤ −3
मुख्य बात: ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर ≥, ≤ में बदल जाता है।
5x − 2 < 3x + 6 हल करें।
उत्तर: undefined
- x वाले पदों को इकट्ठा करें: 5x − 3x < 6 + 2
- 2x < 8
- x < 4
मुख्य बात: धनात्मक 2 से भाग देने पर दिशा वही रहती है — ऋणात्मक से भाग देने पर यह बदल जाती।