सिग्मा नोटेशन और श्रेणी
“सिग्मा एक अक्षर वाला आदेश है: 'इन सबको क्रम में जोड़ो'।”
सूत्र
Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2कैसे पढ़ें: 1 से n तक हर पूर्ण संख्या जोड़ने पर n(n+1)/2 मिलता है
- Σ
- — सिग्मा — इस प्रतीक का मतलब है 'इन सबको जोड़ो'
- k
- — चलता चर (यह 1, 2, 3, … से गुज़रता है)
- n
- — ऊपरी सीमा — जोड़ कहाँ तक चलता है
शुरुआत
1+2+3+…+100 को एक-एक करके जोड़ने की ज़रूरत नहीं — सिग्मा नोटेशन और एक सूत्र इसे एक ही लाइन में पूरा कर देते हैं।
सरल शब्दों में
Σ एक आदेश है: 'नीचे वाले मान से ऊपर वाले मान तक डालो और सबको जोड़ दो'। Σₖ₌₁ⁿ k, 1 से n तक का जोड़ है।
अंतर्ज्ञान
1-से-n को आगे और पीछे दो पंक्तियों में रखें; हर जोड़ी का जोड़ (n+1) होता है। ऐसी n जोड़ियाँ हैं, तो कुल का दुगना n(n+1) है, जिससे जोड़ n(n+1)/2 मिलता है। यही ओवरलैप-और-जोड़ी वाली तस्वीर सूत्र है।
कैसे बनता है
Σ के नीचे, k=1 शुरुआत है; ऊपर, n अंत है; बाद की अभिव्यक्ति 'क्या जोड़ना है' बताती है। तीन जोड़ बुनियादी हैं — Σk=n(n+1)/2, Σk²=n(n+1)(2n+1)/6, Σc=cn (एक अचर संख्या n बार जोड़ी गई)।
उदाहरण
1 से 10 तक: Σₖ₌₁¹⁰ k = 10·11/2 = 55। वाकई (1+10)+(2+9)+… = 11, पाँच जोड़ियाँ = 55। यह मेल खाता है।
आम ग़लतफ़हमी
Σ(k+1), Σk + 1 नहीं है। अचर संख्या 1 भी n बार जुड़ती है, तो यह Σk + n है। सिग्मा के अंदर हर पद n बार दोहराता है, यह भूलना आसान है।
कहाँ उपयोग होता है
औसत और प्रसरण, समांतर और गुणोत्तर श्रेणियों का जोड़, कंप्यूटिंग में बार-बार जोड़, और समाकलन का बीज (क्षेत्रफल को काटकर जोड़ना) — जहाँ भी 'बहुत सी चीज़ें जोड़नी' हों।
कहाँ से आया
जोड़ का प्रतीक Σ ग्रीक अक्षर सिग्मा है ('sum' का S); ऑयलर के व्यापक इस्तेमाल से यह मानक बना।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
Σₖ₌₁⁵ k क्या है?
- 10
- 15✓
- 25
- 30
अभ्यास
Σₖ₌₁¹⁰⁰ k निकालें, 1 से 100 तक का जोड़।
उत्तर: 5050
- सूत्र n(n+1)/2 में n=100 डालें
- 100·101/2 = 10100/2 = 5050
मुख्य बात: गाउस की सिरों को जोड़ी बनाने वाली तरकीब।
Σₖ₌₁⁴ 3 निकालें (अचर संख्या 3 को चार बार जोड़ना)।
उत्तर: 12
- अचर संख्या का जोड़: Σc = cn
- 3·4 = 12
मुख्य बात: एक अचर संख्या हर पद में एक बार जुड़ती है।
Σₖ₌₁⁵ k² निकालें, यानी 1²+2²+3²+4²+5²।
उत्तर: 55
- सूत्र n(n+1)(2n+1)/6 में n=5 डालें
- 5·6·11/6 = 330/6 = 55
मुख्य बात: वर्गों के जोड़ का अपना अलग सूत्र होता है।
1 से 20 तक का जोड़, Σₖ₌₁²⁰ k निकालें।
उत्तर: undefined
- n=20 डालें
- 20·21/2 = 420/2 = 210
मुख्य बात: चाहे कितने भी पद हों, एक ही सूत्र, एक ही कदम में।