समान्तर और गुणोत्तर श्रेणी
“जोड़ें तो समान्तर (रेखा); गुणा करें तो गुणोत्तर (वक्र)।”
सूत्र
aₙ = a₁ + (n−1)d, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹कैसे पढ़ें: समान्तर श्रेणी का पद पहले पद में सार्व अंतर d को (n−1) बार जोड़ता है; गुणोत्तर श्रेणी का पद पहले पद को सार्व अनुपात r से (n−1) बार गुणा करता है
- a₁
- — पहला पद — जहाँ से श्रेणी शुरू होती है
- d
- — सार्व अंतर — पड़ोसी पदों के बीच स्थिर अंतर (समान्तर)
- r
- — सार्व अनुपात — पड़ोसी पदों के बीच स्थिर गुणक (गुणोत्तर)
- n
- — पद संख्या (यह कौन-सा पद है)
शुरुआत
हर कदम पर बराबर मात्रा जोड़ना, जैसे सीढ़ियाँ चढ़ना → समान्तर। हर बार बराबर गुणक से गुणा करना, जैसे चक्रवृद्धि ब्याज → गुणोत्तर। एक ही नियम पूरी श्रेणी तय करता है।
सरल शब्दों में
समान्तर श्रेणी हर बार पिछले पद में एक स्थिर संख्या d जोड़ती है; गुणोत्तर श्रेणी हर बार पिछले पद को एक स्थिर संख्या r से गुणा करती है।
अंतर्ज्ञान
समान्तर श्रेणी स्थिर डग से चलती है — ग्राफ़ पर यह एक सीधी रेखा है। गुणोत्तर श्रेणी हर बार उसी गुणक से छलांग लगाती है — ग्राफ़ पर यह एक घातांकी वक्र है। नियम 'जोड़ना' है या 'गुणा करना', यही दोनों को अलग करता है।
कैसे बनता है
n-वें पद तक पहुँचने के लिए आप पहले पद से ठीक (n−1) कदम लेते हैं। समान्तर हर कदम d जोड़ती है → a₁+(n−1)d; गुणोत्तर हर कदम r से गुणा करती है → a₁·rⁿ⁻¹। कुंजी है (n−1), न कि n — पहला पद शून्य कदम है।
उदाहरण
2, 5, 8, 11, … समान्तर श्रेणी है जिसमें d=3। चौथा पद = 2 + (4−1)·3 = 2 + 9 = 11। और 3, 6, 12, 24, … गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें r=2। चौथा पद = 3·2³ = 24।
आम ग़लतफ़हमी
आम गलती है n को सीधे घातांक में डाल देना। चौथे पद का अनुपात-गुणक r³ है, r⁴ नहीं — आप पहले पद से केवल तीन बार गुणा करते हैं। हमेशा (n−1) जाँचें।
कहाँ उपयोग होता है
बचत ब्याज, जनसंख्या वृद्धि, मूल्यह्रास (गुणोत्तर); सावधि जमा, सीटों की व्यवस्था (समान्तर) — जहाँ भी कोई राशि किसी नियमित नियम से बदलती है और आपको आगे का अनुमान लगाना है।
कहाँ से आया
युवा गाउस द्वारा 1 से 100 तक एक झटके में जोड़ लेने की कहानी दरअसल एक समान्तर श्रेणी का योग ही है — सिरों को जोड़ी बनाकर जोड़ना।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
समान्तर श्रेणी 3, 7, 11, … में 5वाँ पद क्या है?
- 15
- 17
- 19✓
- 23
अभ्यास
समान्तर श्रेणी 2, 5, 8, …. का 10वाँ पद ज्ञात करें।
उत्तर: 29
- a₁=2, d=3
- a₁₀ = 2 + (10−1)·3 = 2 + 27 = 29
मुख्य बात: n-वाँ पद पहले पद में d को (n−1) बार जोड़ता है।
गुणोत्तर श्रेणी 1, 2, 4, 8, …. का 7वाँ पद ज्ञात करें।
उत्तर: 64
- a₁=1, r=2
- a₇ = 1·2⁷⁻¹ = 2⁶ = 64
मुख्य बात: n-वाँ अनुपात-गुणक rⁿ⁻¹ है (r⁷ नहीं)।
एक समान्तर श्रेणी का पहला पद 5 और सार्व अंतर −2 है। 6वाँ पद ज्ञात करें।
उत्तर: -5
- a₆ = 5 + (6−1)·(−2) = 5 − 10
- = −5
मुख्य बात: ऋणात्मक सार्व अंतर श्रेणी को घटाता जाता है।
पहला पद 2 और सार्व अनुपात 3 वाली गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद ज्ञात करें।
उत्तर: undefined
- a₄ = 2·3⁴⁻¹ = 2·3³
- = 2·27 = 54
मुख्य बात: पहले पद से केवल तीन बार गुणा करें।