घातांक के नियम
“गुणा करें और घातांक जोड़ें; भाग करें और उन्हें घटाएं।”
सूत्र
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿकैसे पढ़ें: समान आधार वाली घातों को गुणा करने पर घातांक जुड़ जाते हैं
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- — समान आधार गुणा करें → घातांक जोड़ें
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- — घात की घात → घातांक गुणा करें
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- — समान आधार भाग करें → घातांक घटाएं
शुरुआत
घातांक के नियम याद रखने में बहुत लगते हैं, लेकिन असल में ये सब एक ही विचार हैं — बार-बार गुणा को गिनना।
सरल शब्दों में
एक घात वही संख्या है जिसे कई बार गुणा किया गया हो। इन्हें गुणा या भाग करें, तो आप बस घातांकों को जोड़ या घटाते हैं।
अंतर्ज्ञान
aᵐ का मतलब है a को m बार गुणा करना, aⁿ का मतलब है a को n बार गुणा करना। इन्हें गुणा करने पर a कुल m+n बार गुणा होता है, तो घातांक m+n हो जाता है। आप सिर्फ 'कितनी बार' गिन रहे हैं, इसीलिए घातांक जुड़ते हैं।
कैसे बनता है
तीन नियम सब कुछ समेट लेते हैं — गुणा करें और घातांक जोड़ें (aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ), घात की घात लें और घातांक गुणा करें ((aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ), भाग करें और घातांक घटाएं (aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ)।
उदाहरण
2³ × 2² को पूरा लिखें: (2×2×2) × (2×2) यानी 2 पांच बार। तो 2⁵ = 32, जो घातांक 3+2=5 से बिल्कुल मेल खाता है।
आम ग़लतफ़हमी
aᵐ · aⁿ को aᵐˣⁿ समझने की गलती आसानी से हो जाती है। गुणा करने पर घातांक जुड़ते हैं; घातांकों को गुणा तभी करते हैं जब घात की घात ली जाए, जैसे (aᵐ)ⁿ में।
कहाँ उपयोग होता है
बहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याओं के लिए वैज्ञानिक संकेतन (10 की घातें), क्षेत्रफल और आयतन, और बाइनरी में कंप्यूटर मेमोरी का आकार (2¹⁰=1024) — रोज़ाना इस्तेमाल होते हैं।
कहाँ से आया
घातांक संकेतन aⁿ को देकार्त ने लोकप्रिय बनाया, और बाद में घातांक के नियमों को परिमेय, ऋणात्मक और वास्तविक घातांकों तक स्वाभाविक रूप से बढ़ाया गया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
2³ × 2⁴ को एक ही घात के रूप में लिखें।
- 2⁷✓
- 2¹²
- 2¹
- 4⁷
अभ्यास
3² × 3³ की गणना करें।
उत्तर: 243
- घातांक जोड़ें: 3² × 3³ = 3⁵
- 3⁵ = 243
मुख्य बात: समान आधार के गुणनफल में घातांक जुड़ जाते हैं।
(2³)² की गणना करें।
उत्तर: 64
- घातांक गुणा करें: (2³)² = 2⁶
- 2⁶ = 64
मुख्य बात: घात की घात में घातांक गुणा हो जाते हैं।
5⁴ ÷ 5² की गणना करें।
उत्तर: 25
- घातांक घटाएं: 5⁴ ÷ 5² = 5²
- 5² = 25
मुख्य बात: समान आधार के भागफल में घातांक घट जाते हैं।
a⁵ · a³ को एक ही घात के रूप में लिखें।
उत्तर: undefined
- आधार समान है, इसलिए घातांक जोड़ें
- 5 + 3 = 8
- a⁵ · a³ = a⁸
मुख्य बात: घातांक के नियम तभी लागू होते हैं जब आधार समान हों।