परिमेय संख्याओं का अंकगणित
“पहले चिह्न तय करें, फिर आकार की चिंता करें।”
सूत्र
(+)×(+)=(+), (−)×(−)=(+), (+)×(−)=(−)कैसे पढ़ें: समान चिह्न गुणा होने पर धनात्मक, अलग चिह्न गुणा होने पर ऋणात्मक
- (+)×(+), (−)×(−)
- — एक ही चिह्न वाली दो संख्याओं का गुणनफल → धनात्मक
- (+)×(−), (−)×(+)
- — अलग-अलग चिह्न वाली दो संख्याओं का गुणनफल → ऋणात्मक
- ÷
- — भाग भी गुणा के ठीक वही चिह्न-नियम मानता है
शुरुआत
परिमेय संख्याओं के अंकगणित का अस्सी प्रतिशत एक ही बात है — चिह्न नियम। दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर धनात्मक क्यों मिलता है?
सरल शब्दों में
पूर्णांकों और भिन्नों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने, और भाग देने के नियम। कुंजी है पहले चिह्न तय करना, फिर आकार निकालना।
अंतर्ज्ञान
सोचिए 'विपरीत का विपरीत मूल है'। किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा करना दिशा पलट देता है — दो बार पलटें तो आप वापस वहीं आ जाते हैं (धनात्मक)। इसीलिए (−)×(−)=(+)।
कैसे बनता है
× और ÷ के लिए, पहले चिह्न तय करें: समान चिह्न से +, अलग चिह्न से −। + और − के लिए, याद रखें 'ऋणात्मक घटाना जोड़ना है': a−(−b) = a+b।
उदाहरण
(−2) × (−6) ÷ 4 लीजिए। चिह्न: (−)×(−)=(+)। आकार: 2×6÷4 = 12÷4 = 3। तो जवाब है +3।
आम ग़लतफ़हमी
(−2)² और −2² अलग हैं। (−2)²=(−2)×(−2)=4, पर −2² असल में 2² के आगे एक ऋण चिह्न है, तो −4। कोष्ठक ही तय करते हैं कि चिह्न भी वर्ग होगा या नहीं।
कहाँ उपयोग होता है
तापमान में उतार-चढ़ाव, जमा और निकासी, बढ़ते-घटते खेल के स्कोर — लाभ और हानि को मिलाने वाली हर रोज़मर्रा की गणना परिमेय संख्याओं का अंकगणित है।
कहाँ से आया
ऋणात्मक संख्याओं को वास्तविक संख्या मानने में लंबा समय लगा, पर एक बार चिह्न नियम तय हो जाने पर, समीकरण और पूरा बीजगणित सुचारू रूप से चलने लगा।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
(−2) × 3 क्या है?
- −6✓
- 6
- −5
- 5
अभ्यास
(−5) + (−3) निकालें।
उत्तर: -8
- समान-चिह्न जोड़: आकार जोड़ें, चिह्न वही रखें
- 5 + 3 = 8, चिह्न है −
- → −8
मुख्य बात: ऋणात्मक जमा ऋणात्मक और गहरे ऋणात्मक की ओर जाता है।
(−7) − (−2) निकालें।
उत्तर: -5
- ऋणात्मक घटाना जोड़ना है: −7 − (−2) = −7 + 2
- = −5
मुख्य बात: ऋणात्मक घटाना जोड़ने में बदल जाता है।
(−2) × (−6) ÷ 4 निकालें।
उत्तर: 3
- चिह्न: (−)×(−)=(+)
- आकार: 2 × 6 ÷ 4 = 12 ÷ 4 = 3
- → +3
मुख्य बात: पहले चिह्न तय करें, फिर आकार निकालें।
(−2)³ निकालें और लिखें कि यह ऋणात्मक क्यों आता है।
उत्तर: undefined
- (−2) × (−2) × (−2)
- = 4 × (−2) = −8
- किसी ऋणात्मक संख्या को विषम बार गुणा करने पर वह ऋणात्मक ही रहती है
मुख्य बात: सम संख्या में ऋणात्मक धनात्मक होता है; विषम संख्या में ऋणात्मक ही रहता है।