द्विपद प्रमेय
“द्विपद प्रमेय के गुणांक बस संयोजन हैं — पास्कल का त्रिभुज।”
सूत्र
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏकैसे पढ़ें: (a+b) को खुद से n बार गुणा करके फैलाने पर हर पद का गुणांक एक संयोजन ₙCₖ बनता है
- ₙCₖ
- — द्विपद गुणांक — aⁿ⁻ᵏbᵏ पद के आगे की संख्या
- aⁿ⁻ᵏ bᵏ
- — एक पद जिसमें a, n−k बार और b, k बार प्रयोग होता है
- n
- — कोष्ठक कितनी बार गुणा किया जाता है (घात)
शुरुआत
(a+b)¹⁰ को हाथ से गुणा करके फैलाने की ज़रूरत नहीं — एक बार पता चल जाए कि हर पद का गुणांक एक 'संयोजन' है, तो आप इसे एक लाइन में फैला सकते हैं।
सरल शब्दों में
जब आप (a+b)ⁿ को फैलाते हैं, तो हर पद का गुणांक ₙCₖ होता है — यानी n कोष्ठकों में से k में से b चुनने के तरीकों की संख्या।
अंतर्ज्ञान
(a+b)ⁿ, n बार लिखे और गुणा किए गए (a+b) का रूप है। फैलाने का मतलब है हर कोष्ठक से a या b में से एक चुनना और सारे गुणनफल जोड़ना। b को ठीक k बार चुनने के तरीकों की संख्या ₙCₖ है → इसलिए aⁿ⁻ᵏbᵏ का गुणांक ₙCₖ है। गुणांक हमेशा से 'चुनने के तरीकों की गिनती' थे।
कैसे बनता है
एक स्थिर घात n के लिए, पद हैं aⁿ, aⁿ⁻¹b, …, bⁿ, जिनके घातांक हमेशा n तक जोड़ते हैं। गुणांक ₙC₀, ₙC₁, …, ₙCₙ पास्कल के त्रिभुज की ठीक एक पंक्ति हैं — जहाँ हर प्रविष्टि ऊपर की दो प्रविष्टियों का योग होती है।
उदाहरण
(a+b)² = ₂C₀a² + ₂C₁ab + ₂C₂b² = 1·a² + 2ab + 1·b²। गुणांक 1, 2, 1 पास्कल के त्रिभुज की तीसरी पंक्ति हैं।
आम ग़लतफ़हमी
(a+b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ। बीच के क्रॉस-पद, जो संयोजन गुणांक लिए होते हैं, हमेशा आते हैं। यहाँ तक कि (a+b)² भी 2ab छोड़ने पर ग़लत हो जाता है।
कहाँ उपयोग होता है
प्रायिकता में द्विपद बंटन की गणना, (1+x)ⁿ का सन्निकटन, बीजगणितीय व्यंजकों को फैलाना, संयोजनिक सर्वसमिकाएँ — प्रायिकता/सांख्यिकी और बीजगणित के बीच एक पुल।
कहाँ से आया
गुणांकों को 'पास्कल के त्रिभुज' के रूप में सजाना पास्कल से पहले चीन (यांग हुई) और फ़ारस में जाना जाता था — एक ज्ञान जो सभ्यताओं के पार गया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
(a+b)³ के फैलाव में a²b का गुणांक क्या है?
- 1
- 2
- 3✓
- 6
अभ्यास
(a+b)⁴ के फैलाव में a²b² का गुणांक ज्ञात करें।
उत्तर: 6
- b के दो बार चुने जाने के तरीके: ₄C₂
- = (4·3)/(2·1) = 6
मुख्य बात: गुणांक ₙCₖ होता है, जहाँ k, b का घातांक है।
(1+x)⁵ के फैलाव में x² का गुणांक ज्ञात करें।
उत्तर: 10
- x के दो बार चुने जाने के तरीके: ₅C₂
- = (5·4)/(2·1) = 10
मुख्य बात: (1+x)ⁿ में xᵏ का गुणांक ₙCₖ होता है।
(a+b)⁴ में सभी गुणांकों का योग ज्ञात करें। (संकेत: a=b=1 रखें)
उत्तर: 16
- a=b=1 रखें: (1+1)⁴
- = 2⁴ = 16
मुख्य बात: गुणांकों का योग a=b=1 → 2ⁿ है।
समझाएँ कि (a+b)³ के गुणांक 1, 3, 3, 1 पास्कल के त्रिभुज से कैसे जुड़ते हैं।
उत्तर: undefined
- पास्कल के त्रिभुज में हर प्रविष्टि ऊपर की दो प्रविष्टियों का योग है
- 1,2,1 के पड़ोसियों को जोड़ने पर 1,3,3,1 मिलता है
- वह पंक्ति ठीक (a+b)³ के गुणांक हैं
मुख्य बात: द्विपद गुणांक पास्कल के त्रिभुज की एक पंक्ति हैं।