क्रमचय और संचय
“क्रम मायने रखे → क्रमचय; क्रम नज़रअंदाज़ हो → संचय (C = P ÷ r!)।”
सूत्र
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)कैसे पढ़ें: क्रमचय गिनता है कि r वस्तुओं को क्रम में चुनने के कितने तरीक़े हैं; संचय गिनता है कि क्रम की परवाह किए बिना r वस्तुओं को चुनने के कितने तरीक़े हैं
- n
- — वस्तुओं की कुल संख्या
- r
- — आप कितनी चुनते हैं
- ₙPᵣ
- — क्रमचय — जहाँ क्रम मायने रखता है
- ₙCᵣ
- — संचय — जहाँ क्रम मायने नहीं रखता
शुरुआत
'किसे स्वर्ण, रजत, कांस्य मिलेगा' और 'कौन-से 3 फ़ाइनल में पहुँचेंगे' अलग-अलग तरीक़े से गिने जाते हैं — क्रम मायने रखता है या नहीं, यही क्रमचय और संचय को अलग करता है।
सरल शब्दों में
n वस्तुओं में से r चुनना: अगर चुनने का क्रम मायने रखता है, तो यह क्रमचय (P) है; अगर सिर्फ़ 'कौन चुना गया' मायने रखता है, तो यह संचय (C) है।
अंतर्ज्ञान
इन्हें एक कतार में क्रम से चुनें तो क्रमचय मिलता है। लेकिन संचय क्रम की परवाह नहीं करता, इसलिए आपको उन दोहराव को हटाना होगा जो अलग क्रम में वही समूह हैं (जिनकी संख्या r! है) — यही कारण है कि संचय, क्रमचय को r! से भाग देकर मिलता है। C = P ÷ r!।
कैसे बनता है
P है 'n गुणा (n−1) गुणा …, नीचे की ओर गिनते हुए r गुणनखंड'। C उसी P को r! से भाग देकर क्रम-आधारित दोहराव मिटा देता है। फ़ैक्टोरियल n!, 1 से n तक गुणा करता है — यानी चीज़ों को कतार में लगाने के तरीक़ों की संख्या।
उदाहरण
5 लोगों में से 2 चुनें: क्रमचय ₅P₂ = 5·4 = 20 (पहला और दूसरा अलग गिना जाता है)। संचय ₅C₂ = 20 ÷ 2! = 20 ÷ 2 = 10 (सिर्फ़ 2 चुनना)।
आम ग़लतफ़हमी
सिर्फ़ 'चुनना' शब्द देखते ही संचय मत मान लीजिए। अगर भूमिकाएँ अलग हैं (अध्यक्ष बनाम उपाध्यक्ष), तो यह क्रमचय है; अगर कोई भूमिका-भेद नहीं है (बस 2 प्रतिनिधि), तो यह संचय है।
कहाँ उपयोग होता है
लॉटरी की संभावनाएँ, संभव पासवर्डों की संख्या, टीम बनाना, ताश के खेल के हाथ — प्रायिकता और सांख्यिकी की शुरुआत: 'कितने तरीक़े हैं?'
कहाँ से आया
व्यवस्थित गणना, पास्कल और फ़र्मा के बीच के पत्रों से तेज़ी से बढ़ी, जब वे जुए के खेलों की संभावनाओं पर विचार कर रहे थे।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
₅C₂ क्या है? (5 में से 2 चुनना)
- 10✓
- 20
- 25
- 60
अभ्यास
₄P₂ निकालें (4 में से 2 को क्रम में सजाना)।
उत्तर: 12
- 4 से नीचे की ओर गिनते हुए 2 गुणनखंड गुणा करें: 4·3
- = 12
मुख्य बात: क्रमचय, n से नीचे की ओर r गुणनखंड गुणा करता है।
₆C₂ निकालें।
उत्तर: 15
- ₆C₂ = (6·5)/(2·1)
- = 30/2 = 15
मुख्य बात: संचय, क्रमचय को r! से भाग देता है।
3! निकालें।
उत्तर: 6
- 3! = 3·2·1
- = 6
मुख्य बात: फ़ैक्टोरियल 1 से उस संख्या तक गुणा करता है।
'5 में से 2 चुनना' के ज़रिए समझाएँ कि ₙCᵣ = ₙPᵣ ÷ r! क्यों होता है।
उत्तर: undefined
- क्रमचय ₅P₂=20, (A,B) और (B,A) को अलग-अलग गिनता है
- लेकिन 2 चुनने के लिए, वे एक ही समूह हैं
- 2!=2 क्रमों को हटाएँ: 20÷2=10
मुख्य बात: संचय, क्रम-आधारित दोहराव हटाया हुआ एक क्रमचय है।