संभावनाओं की गिनती (Counting Cases)
“एक के बाद एक होना: गुणा करें। दो में से एक: जोड़ें।”
सूत्र
N = m × nकैसे पढ़ें: अगर एक घटना m तरीकों से हो सकती है और फिर दूसरी n तरीकों से, तो दोनों का एक के बाद एक होना m×n तरीकों से हो सकता है
- m
- — पहली घटना जितने तरीकों से हो सकती है, उनकी संख्या
- n
- — अगली घटना जितने तरीकों से हो सकती है, उनकी संख्या
- m × n
- — दोनों के एक के बाद एक होने के कुल तरीकों की संख्या
शुरुआत
'संभावनाओं की गिनती' असल में हर संभावना को एक बार गिनने का हुनर है — न कुछ छूटे, न कुछ दोबारा गिना जाए।
सरल शब्दों में
जो चीज़ें एक साथ नहीं हो सकतीं उन्हें आप जोड़ते (add) हैं (सम नियम/sum rule); जो चीज़ें एक के बाद एक होती हैं उन्हें आप गुणा (multiply) करते हैं (गुणन नियम/product rule)।
अंतर्ज्ञान
कपड़े चुनना: 3 शर्ट में से 1 चुनें, फिर 2 पैंट में से 1। हर शर्ट 2 पैंट विकल्पों में शाखित (branch) होती है, तो 3×2 = 6 शाखाएँ बनती हैं। यह पेड़ की तरह बँटता है, इसलिए आप गुणा करते हैं।
कैसे बनता है
मुख्य कसौटी है 'और' बनाम 'या'। एक के बाद एक करके → गुणा करें ('और')। यह या वह, सिर्फ़ एक → जोड़ें ('या')।
उदाहरण
3 टी-शर्ट में से एक को 2 पैंट में से एक के साथ पहनने के तरीके: हर शर्ट के लिए 2 पैंट → 3×2 = 6 पोशाकें।
आम ग़लतफ़हमी
जब असल में 'और' हो तो जोड़ना, या जब असल में 'या' हो तो गुणा करना गलत हो जाता है। एक के बाद एक होना → गुणा करें; दो में से सिर्फ़ एक → जोड़ें।
कहाँ उपयोग होता है
संभावित पासवर्डों की संख्या, बैठने की व्यवस्थाएँ, टूर्नामेंट ब्रैकेट, लॉटरी की प्रायिकता का भाजक (denominator) — प्रायिकता निकालने के लिए पहले संभावनाओं को गिनना ज़रूरी है।
कहाँ से आया
1600 के दशक में जब पास्कल और फ़र्मा ने जुए (gambling) की समस्याएँ सुलझाईं और प्रायिकता सिद्धांत का द्वार खोला, तब संभावनाओं को व्यवस्थित ढंग से गिनना शुरू हुआ।
त्वरित जाँच
एक सिक्का उछालने और एक साथ एक पासा फेंकने पर कितने परिणाम संभव हैं?
- 8
- 12✓
- 36
- 2
अभ्यास
4 प्रकार की टी-शर्ट और 3 प्रकार की टोपी में से एक सेट चुनने के कितने तरीके हैं?
उत्तर: 12
- हर शर्ट 3 टोपी विकल्पों में शाखित होती है
- 4 × 3 = 12
मुख्य बात: एक के बाद एक किए गए चुनावों को गुणा किया जाता है।
अंक 1, 2, 3 का उपयोग करके आप कितनी दो-अंकों की संख्याएँ (जैसे 12 या 33) बना सकते हैं? (दोहराव की अनुमति है)
उत्तर: 9
- दहाई का स्थान: 3 विकल्प
- इकाई का स्थान: 3 विकल्प (दोहराव की अनुमति है)
- 3 × 3 = 9
मुख्य बात: हर स्थान के विकल्पों की संख्या को गुणा करें।
दो पासे फेंकने पर फलकों के कितने क्रमित युग्म (ordered pairs) संभव हैं? अपने नोटपैड पर लिखें कि यह गुणन क्यों है।
उत्तर: undefined
- पहला पासा: 6 तरीके
- दूसरा पासा: 6 तरीके
- हर फलक 6 में शाखित होता है, तो 6 × 6 = 36
मुख्य बात: 'और' से जुड़ी घटनाओं की गिनतियाँ गुणा की जाती हैं।