प्रायिकता और सांख्यिकी
14 अवधारणाएँ
N = m × nसंभावनाओं की गिनती (Counting Cases)
जो चीज़ें एक साथ नहीं हो सकतीं उन्हें आप जोड़ते (add) हैं (सम नियम/sum rule); जो चीज़ें एक के बाद एक होती हैं उन्हें आप गुणा (multiply) करते हैं (गुणन नियम/product rule)।
P(A) = a / nप्रायिकता का अर्थ
समान संभावना वाले परिणामों को गिनें, फिर उनमें से वह हिस्सा लें जो आप चाहते हैं।
P(Aᶜ) = 1 − P(A)पूरक घटनाएँ
किसी चीज़ के न होने की प्रायिकता पूरी प्रायिकता 1 घटा उसके होने की प्रायिकता है।
x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) / nकेंद्रीय प्रवृत्ति के माप
माध्य योग को संख्या से भाग देकर मिलता है, माध्यिका क्रम में लगाने पर बीच का मान है, और बहुलक सबसे ज़्यादा बार आने वाला मान है।
σ² = { (x₁−x̄)² + ⋯ + (xₙ−x̄)² } / nफैलाव: प्रसरण और मानक विचलन
माध्य से हर मान के विचलन के वर्गों का औसत प्रसरण है; उसका वर्गमूल मानक विचलन है।
ₙPᵣ = n!/(n−r)!, ₙCᵣ = n!/(r!(n−r)!)क्रमचय और संचय
n वस्तुओं में से r चुनना: अगर चुनने का क्रम मायने रखता है, तो यह क्रमचय (P) है; अगर सिर्फ़ 'कौन चुना गया' मायने रखता है, तो यह संचय (C) है।
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)सशर्त प्रायिकता
मान लें घटना A पहले ही घटित हो चुकी है, तो उस शर्त के अंतर्गत B के घटित होने की प्रायिकता ही सशर्त प्रायिकता है। आप पूरी दुनिया को सिकोड़कर A तक ले आते हैं, फिर उसमें B को तौलते हैं।
P(X=k) = ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏद्विपद बंटन
यह उस प्रायिकता का बंटन है कि जब आप n स्वतंत्र प्रयास करते हैं, प्रत्येक में समान सफलता प्रायिकता p हो, तो k सफलताएँ मिलें।
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68सामान्य वितरण
अपने माध्य के चारों ओर सममित, घंटी के आकार का वितरण। डेटा माध्य के पास सबसे घना होता है और दूर जाने पर तेज़ी से पतला होता जाता है।
E(X) = Σ xᵢ pᵢप्रत्याशित मान और प्रसरण
जब आप परिणामों की प्रायिकताएं जानते हैं, तो यह हर मान को उसकी प्रायिकता से गुणा करके जोड़ना है। इसे बहुत बार दोहराएं और यह वह 'दीर्घकालिक औसत' है जिस पर चीज़ें स्थिर होती हैं।
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)बेज़ प्रमेय
बेज़ प्रमेय किसी विश्वास को नए प्रमाण के आधार पर अद्यतन करने का नियम है। B देखने से पहले A की प्रायिकता (पूर्व-प्रायिकता) लें, इसे A सत्य होने पर B की संभावना से गुणा करें, फिर B की कुल संभावना से भाग दें — आपको B देखने के बाद A की प्रायिकता (पश्च-प्रायिकता) मिल जाती है।
x̄ₙ = (X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ) / n → μ (n → ∞)बड़ी संख्याओं का नियम
बड़ी संख्याओं का नियम कहता है कि अगर आप एक ही यादृच्छिक (random) प्रयोग को बार-बार दोहराएँ, तो परिणामों का औसत सैद्धांतिक अपेक्षित मान μ के लगातार करीब होता जाता है। एक-एक परिणाम अप्रत्याशित ही रहता है, पर औसत अनुमानित हो जाता है।
(x̄ₙ − μ) / (σ/√n) → N(0, 1) (n → ∞)केंद्रीय सीमा प्रमेय
केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि मूल बंटन का आकार चाहे जो हो — सपाट या तिरछा — अगर आप कई स्वतंत्र प्रतिदर्श लेकर उनका औसत (या योग) निकालें, तो उन औसतों का बंटन सामान्य (घंटी) आकार के क़रीब पहुँचता है।
P(Xₙ₊₁ | X₀…Xₙ) = P(Xₙ₊₁ | Xₙ); πP = πमार्कोव श्रृंखला (Markov Chains)
यह एक ऐसी प्रक्रिया है जो स्थितियों के बीच यादृच्छिक रूप से उछलती है, जहाँ अगली स्थिति की प्रायिकता सिर्फ वर्तमान स्थिति पर निर्भर करती है, न कि वहाँ तक पहुँचने के रास्ते पर। यही 'स्मृतिहीनता' मार्कोव गुण (Markov property) कहलाती है।
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