बड़ी संख्याओं का नियम
“बड़ी संख्याओं का नियम: एक प्रयोग भाग्य है, पर कई का औसत नियम।”
सूत्र
x̄ₙ = (X₁ + X₂ + ⋯ + Xₙ) / n → μ (n → ∞)कैसे पढ़ें: एक ही प्रयोग को बार-बार दोहराने पर मिले परिणामों का औसत, प्रयोगों की संख्या बढ़ने के साथ सैद्धांतिक अपेक्षित मान μ के करीब पहुँचता जाता है
- Xᵢ
- — i-वें प्रयोग का परिणाम
- x̄ₙ
- — n प्रयोगों का प्रतिदर्श माध्य (sample mean)
- n
- — प्रयोगों की संख्या — जितनी बड़ी, उतना स्थिर
- μ
- — सैद्धांतिक अपेक्षित मान (असली माध्य)
शुरुआत
सिक्के को दस बार उछालने पर नतीजे बेतरतीब हो सकते हैं, पर दस हज़ार बार उछालने पर हेड आने का अनुपात 0.5 के करीब आ टिकता है — संयोग यहाँ सांख्यिकी में ढल जाता है।
सरल शब्दों में
बड़ी संख्याओं का नियम कहता है कि अगर आप एक ही यादृच्छिक (random) प्रयोग को बार-बार दोहराएँ, तो परिणामों का औसत सैद्धांतिक अपेक्षित मान μ के लगातार करीब होता जाता है। एक-एक परिणाम अप्रत्याशित ही रहता है, पर औसत अनुमानित हो जाता है।
अंतर्ज्ञान
एक अकेली यादृच्छिक घटना उतार-चढ़ाव करती है। पर हज़ारों को इकट्ठा करके औसत निकालें, तो उतार चढ़ाव को काट देते हैं और असली मान बचता है। नमूना जितना बड़ा होता है, किसी एक भाग्यशाली घटना का असर 1/n जैसा घटता जाता है — इसलिए औसत 'भाग्य को भूल' कर अपेक्षित मान पर टिक जाता है।
कैसे बनता है
दो हिस्से — प्रतिदर्श माध्य x̄ₙ और असली माध्य μ। नियम कहता है कि n बढ़ने पर इनका अंतर 0 की ओर जाता है। क्यों? क्योंकि प्रतिदर्श माध्य का डगमगाना (मानक विचलन) σ/√n जैसा सिकुड़ता है। n को 100 गुना करें तो डगमगाना 10 गुना घट जाता है। हमेशा के लिए उछालते रहें तो डगमगाना खत्म हो जाता है, और औसत μ पर टिक जाता है।
उदाहरण
एक निष्पक्ष सिक्के को 10 बार उछालने पर 7 हेड (अनुपात 0.7) आना असामान्य नहीं। पर 10,000 बार उछालने पर हेड की संख्या 5,000 के आसपास इकट्ठी होती है (अनुपात ≈ 0.500)। पासे में भी ऐसा ही — कई बार फेंकने का औसत (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 के करीब पहुँचता है।
आम ग़लतफ़हमी
जुआरी की भ्रांति (gambler's fallacy) से सावधान रहें। लगातार पाँच हेड आने का मतलब यह नहीं कि अब टेल 'आनी ही है'। हर उछाल अब भी 50:50 है। अनुपात 0.5 पर इसलिए नहीं टिकता कि अतीत की 'भरपाई' होती है, बल्कि इसलिए कि आने वाले असंख्य प्रयोग शुरुआती असंतुलन को 'पतला' कर देते हैं।
कहाँ उपयोग होता है
बीमा (कई पॉलिसियों पर नुकसान की दर अनुमानित होती है), कैसीनो का हाउस एज, जनमत सर्वेक्षण, मोंते कार्लो सिमुलेशन, गुणवत्ता नियंत्रण, बड़े नमूनों पर टिका हर सांख्यिकीय अनुमान — जहाँ भी भीड़ अनुमानित हो, भले ही एक व्यक्ति न हो, वहाँ यह काम आता है।
कहाँ से आया
जैकब बर्नौली ने इसे अपनी मरणोपरांत 1713 में छपी पुस्तक 'Ars Conjectandi' में सिद्ध किया और इसे अपना 'स्वर्णिम प्रमेय' कहा। यह पहली बार था जब गणित ने संयोग के भीतर छिपे व्यवस्था को सिद्ध किया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
एक निष्पक्ष सिक्का अभी लगातार पाँच बार हेड पर गिरा है। अगली उछाल में हेड आने की प्रायिकता क्या है?
- 0.5 से काफी कम
- 0.5✓
- 0.5 से काफी अधिक
- 0
अभ्यास
एक निष्पक्ष पासे को कई बार फेंकने पर, फेंक का औसत किस मान की ओर अभिसरित होता है?
उत्तर: 3.5
- अपेक्षित मान = (1+2+3+4+5+6)/6
- = 21/6 = 3.5
मुख्य बात: प्रतिदर्श माध्य अपेक्षित मान μ की ओर अभिसरित होता है।
एक निष्पक्ष सिक्के को बहुत बार उछालने पर, हेड का अनुपात किस मान की ओर अभिसरित होता है?
उत्तर: 0.5
- हेड की प्रायिकता 1/2 है
- इसलिए अनुपात 0.5 की ओर अभिसरित होता है
मुख्य बात: लंबे समय में अनुपात घटना की प्रायिकता के बराबर हो जाता है।
लगातार चार हेड आने के बाद, निष्पक्ष सिक्के की अगली उछाल में हेड आने की प्रायिकता निकालें।
उत्तर: 0.5
- हर उछाल स्वतंत्र है — अतीत से अप्रभावित
- प्रायिकता अब भी 0.5 है
मुख्य बात: जुआरी की भ्रांति — सिक्के की कोई स्मृति नहीं होती।
बड़ी संख्याओं के नियम की मदद से समझाएँ कि कैसीनो लंबे समय में लाभ क्यों कमाता है, भले ही कुछ खिलाड़ी बड़ी जीत हासिल कर लें।
उत्तर: undefined
- हर खेल में हाउस के पक्ष में एक छोटा-सा अपेक्षित मान होता है (हाउस एज)
- एक राउंड में उतार-चढ़ाव होता है — कोई खिलाड़ी बड़ी जीत भी हासिल कर सकता है
- लाखों राउंड में औसत हाउस एज की ओर अभिसरित होता है, इसलिए कैसीनो जीतता है
मुख्य बात: छोटा एज गुणा बड़ी संख्या बराबर पक्का लाभ।