प्रत्याशित मान और प्रसरण
“प्रत्याशित मान एक प्रायिकता-भारित 'दीर्घकालिक औसत' है।”
सूत्र
E(X) = Σ xᵢ pᵢकैसे पढ़ें: प्रत्याशित मान हर संभावित परिणाम को उसकी प्रायिकता से गुणा करके जोड़ता है — यह दीर्घकालिक औसत है
- xᵢ
- — हर संभावित मान (परिणाम)
- pᵢ
- — उस मान के आने की प्रायिकता
- E(X)
- — प्रत्याशित मान — प्रायिकता-भारित औसत
शुरुआत
एक पासा फेंकें — औसत संख्या क्या है? 3.5 — एक ऐसा मान जो कभी असल में नहीं आता, वही 'प्रत्याशित मान' है।
सरल शब्दों में
जब आप परिणामों की प्रायिकताएं जानते हैं, तो यह हर मान को उसकी प्रायिकता से गुणा करके जोड़ना है। इसे बहुत बार दोहराएं और यह वह 'दीर्घकालिक औसत' है जिस पर चीज़ें स्थिर होती हैं।
अंतर्ज्ञान
प्रत्याशित मान प्रायिकताओं को भार मानकर द्रव्यमान का केंद्र है। बार-बार आने वाले मान (बड़ा p) औसत को अधिक खींचते हैं। तो यह किसी एक परिणाम को नहीं बल्कि 'दीर्घकाल में औसतन कितना' बताता है। प्रसरण मापता है कि मान इस औसत के इर्द-गिर्द कितने बिखरे हुए हैं।
कैसे बनता है
E(X)=Σ xᵢpᵢ 'मान × प्रायिकता' को जोड़ता है। प्रसरण V(X) हर मान की माध्य से वर्ग-दूरी का औसत लेता है, जो फैलाव के साथ बढ़ता है। मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल लेकर मूल इकाइयों में वापस आता है।
उदाहरण
एक निष्पक्ष पासा: E(X) = 1·(1/6)+2·(1/6)+…+6·(1/6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5।
आम ग़लतफ़हमी
प्रत्याशित मान न तो 'सबसे बार आने वाला मान' है, न ही ऐसा मान जो वास्तव में आता है। पासे का प्रत्याशित मान 3.5 किसी पहलू पर भी नहीं है — यह पूरी तरह एक 'दीर्घकालिक औसत' है।
कहाँ उपयोग होता है
बीमा और लॉटरी की कीमत तय करना, निवेश पर प्रत्याशित प्रतिफल, गेम-डिज़ाइन का संतुलन, निर्णय-लेने के मानदंड — जहां भी आप 'अनिश्चित परिणाम का औसत मूल्य' मापते हैं।
कहाँ से आया
प्रत्याशित मान का विचार 17वीं सदी में पास्कल, फ़र्मा और हाइगेंस के जुए की शर्तों को 'निष्पक्ष रूप से' बांटने के काम से जन्मा।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
एक निष्पक्ष पासे का प्रत्याशित मान क्या है?
- 3
- 3.5✓
- 4
- 6
अभ्यास
एक सिक्का खेल हेड पर 1000 रुपये और टेल पर 0 देता है। प्रत्याशित मान ज्ञात करें।
उत्तर: 500
- E(X) = 1000·(1/2) + 0·(1/2)
- = 500 + 0 = 500
मुख्य बात: प्रत्याशित मान = Σ(मान × प्रायिकता)।
X मान 1, 2, 3 लेता है प्रायिकता 1/2, 1/4, 1/4 के साथ। E(X) ज्ञात करें।
उत्तर: 1.75
- E(X) = 1·(1/2) + 2·(1/4) + 3·(1/4)
- = 0.5 + 0.5 + 0.75 = 1.75
मुख्य बात: औसत उच्च-प्रायिकता वाले मानों की ओर खिंचता है।
एक निष्पक्ष पासे का प्रत्याशित मान सीधे गणना करें।
उत्तर: 3.5
- (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6
- = 3.5
मुख्य बात: बराबर प्रायिकताओं के साथ प्रत्याशित मान बस औसत होता है।
एक पंक्ति में समझाएं कि प्रसरण डेटा का 'फैलाव' क्यों मापता है।
उत्तर: undefined
- यह हर मान की माध्य से वर्ग-दूरी का औसत लेता है
- जितना अधिक बिखराव, उतनी बड़ी ये वर्ग-दूरियां
- तो बड़ा प्रसरण मतलब व्यापक रूप से फैला हुआ डेटा
मुख्य बात: प्रसरण है 'मान माध्य से कितने दूर बिखरे हैं'।