केंद्रीय प्रवृत्ति के माप
“केंद्र नापने के तीन पैमाने हैं: माध्य, माध्यिका, और बहुलक।”
सूत्र
x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) / nकैसे पढ़ें: माध्य यानी सभी डेटा मानों को जोड़कर, फिर उनकी संख्या से भाग देना
- x₁ … xₙ
- — प्रत्येक डेटा मान
- n
- — डेटा मानों की कुल संख्या
- x̄
- — माध्य (योग ÷ संख्या)
शुरुआत
पूरे डेटासेट को 'एक प्रतिनिधि मान' से बताने के कई तरीके हैं — माध्य, माध्यिका, बहुलक, हर एक अलग स्थिति में सबसे उपयोगी।
सरल शब्दों में
माध्य योग को संख्या से भाग देकर मिलता है, माध्यिका क्रम में लगाने पर बीच का मान है, और बहुलक सबसे ज़्यादा बार आने वाला मान है।
अंतर्ज्ञान
माध्य वह संतुलन बिंदु है जहाँ डेटा सी-सॉ पर बराबर टिका रहेगा। माध्यिका वह है जो सबको कतार में खड़ा करने पर ठीक बीच में आता है, और बहुलक वह जगह है जहाँ सबसे ज़्यादा मान जमा होते हैं। तीनों अलग-अलग 'केंद्र' दिखा सकते हैं।
कैसे बनता है
माध्य हर मान का उपयोग करता है, इसलिए चरम मान इसे खींच देते हैं। माध्यिका सिर्फ क्रम की परवाह करती है, इसलिए चरम मानों से अप्रभावित रहती है। बहुलक सबसे सामान्य मान है, जो 'रुझान' दिखाता है।
उदाहरण
डेटा 2, 3, 3, 7, 10 → माध्य = 25/5 = 5, माध्यिका = (2, 3, 3, 7, 10 को क्रम में लगाकर बीच का मान) 3, बहुलक = सबसे बार आने वाला, 3।
आम ग़लतफ़हमी
माध्य हमेशा 'प्रतिनिधि' नहीं होता। अगर किसी एक व्यक्ति का वेतन बहुत ज़्यादा हो, तो माध्य ऊपर चला जाता है जबकि ज़्यादातर लोग कम कमाते हैं — यहाँ माध्यिका ज़्यादा ईमानदार तस्वीर देती है।
कहाँ उपयोग होता है
ग्रेड, आय, ऊँचाई या व्यू काउंट को एक संख्या में समेटना। आय जैसे बड़े चरम मानों वाले डेटा के लिए विकृति से बचने हेतु माध्यिका भी देखनी चाहिए।
कहाँ से आया
माध्य का उपयोग बहुत पहले खगोलशास्त्र में कई मापों को 'औसत' करके त्रुटियाँ घटाने के लिए होता था; सांख्यिकी के विकसित होने के साथ माध्यिका और बहुलक भी स्थापित हुए।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
डेटा 4, 6, 6, 8, 11 की माध्यिका क्या है?
- 6✓
- 7
- 8
- 35
अभ्यास
डेटा 3, 5, 7, 9, 11 का माध्य क्या है?
उत्तर: 7
- योग = 3+5+7+9+11 = 35
- 35 / 5 = 7
मुख्य बात: माध्य = डेटा का योग ÷ संख्या।
डेटा 2, 3, 5, 8, 8, 10 की माध्यिका क्या है? (सम संख्या)
उत्तर: 6.5
- क्रम में लगाने पर बीच के दो मान 5 और 8 हैं
- (5 + 8) / 2 = 6.5
मुख्य बात: सम संख्या में, माध्यिका बीच के दो मानों का औसत होती है।
डेटा 1, 2, 2, 2, 5, 9 के लिए माध्य, माध्यिका और बहुलक निकालें, और सोचें कि कौन सा डेटा का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है।
उत्तर: undefined
- माध्य = 21/6 = 3.5
- माध्यिका = बीच के दो मानों (2, 2) का औसत = 2
- बहुलक = सबसे बार आने वाला, 2
- बड़ा मान 9 माध्य को ऊपर खींचता है, इसलिए माध्यिका/बहुलक (2) ज़्यादा प्रतिनिधि हैं
मुख्य बात: जब चरम मान मौजूद हों, माध्यिका माध्य से ज़्यादा ईमानदार हो सकती है।