बेज़ प्रमेय
“सिर्फ़ प्रमाण की सटीकता से मत आँकिए — शुरुआत में वह कितना दुर्लभ था, यह जवाब पलट सकता है।”
सूत्र
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)कैसे पढ़ें: प्रमाण B देखने के बाद A की प्रायिकता, A की पूर्व-प्रायिकता गुणा A के अंतर्गत B के होने की संभावना, भाग B की कुल प्रायिकता है
- P(A|B)
- — B देखने के बाद A की प्रायिकता (पश्च-प्रायिकता)
- P(A)
- — प्रमाण से पहले A की प्रायिकता (पूर्व-प्रायिकता)
- P(B|A)
- — जब A सत्य हो तब प्रमाण B देखने की संभावना
- P(B)
- — प्रमाण B देखने की कुल प्रायिकता
शुरुआत
99% सटीक जाँच का परिणाम पॉज़िटिव आता है — फिर भी आपके वाकई बीमार होने की संभावना केवल लगभग 17% है। बेज़ प्रमेय बताता है क्यों।
सरल शब्दों में
बेज़ प्रमेय किसी विश्वास को नए प्रमाण के आधार पर अद्यतन करने का नियम है। B देखने से पहले A की प्रायिकता (पूर्व-प्रायिकता) लें, इसे A सत्य होने पर B की संभावना से गुणा करें, फिर B की कुल संभावना से भाग दें — आपको B देखने के बाद A की प्रायिकता (पश्च-प्रायिकता) मिल जाती है।
अंतर्ज्ञान
मुख्य अंतर्दृष्टि है 'बेस रेट'। अगर कोई बीमारी बहुत दुर्लभ है (1%), तो 99% स्वस्थ लोगों में भी सिर्फ़ 5% गलत-अलार्म दर वास्तविक मरीज़ों से कहीं ज़्यादा पॉज़िटिव परिणाम पैदा कर देती है। इसलिए ज़्यादातर पॉज़िटिव परिणाम 'स्वस्थ पर गलती से चिह्नित' होते हैं। सिर्फ़ जाँच की सटीकता मत देखें — यह भी देखें कि शुरुआत में वह चीज़ कितनी दुर्लभ थी।
कैसे बनता है
पश्च-प्रायिकता तीन भागों से बनती है: पूर्व-प्रायिकता P(A) आपका शुरुआती विश्वास है, संभाव्यता P(B|A) यह है कि प्रमाण कितना प्रेरक है, और हर P(B) सभी रास्तों में प्रमाण की कुल संभावना है। हर आमतौर पर P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A) के रूप में फैलता है, जो 'सच्चे पॉज़िटिव' और 'झूठे पॉज़िटिव' दोनों गिनता है।
उदाहरण
बीमारी की व्यापकता P(D)=1%, जाँच की संवेदनशीलता P(+|D)=99%, झूठी-पॉज़िटिव दर P(+|स्वस्थ)=5%। पॉज़िटिव मिलने पर, वाकई बीमार होने की संभावना? P(+) = 0.99·0.01 + 0.05·0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594। तो P(D|+) = 0.0099/0.0594 ≈ 0.167, लगभग 17%।
आम ग़लतफ़हमी
सबसे बड़ा जाल है P(A|B) को P(B|A) से गड्डमड्ड करना ('अभियोजक की भ्रांति')। 'बीमारी होने पर पॉज़िटिव आने की संभावना' और 'पॉज़िटिव आने पर बीमारी होने की संभावना' पूरी तरह अलग हैं। इन दोनों के बीच का पुल बेज़ प्रमेय है — और वह पुल हमेशा पूर्व-प्रायिकता से होकर जाता है।
कहाँ उपयोग होता है
स्पैम फ़िल्टर, चिकित्सा निदान, अदालत में प्रमाण तौलना, मशीन लर्निंग (नैव बेज़ वर्गीकारक), खोज और सिफ़ारिश, विज्ञान में परिकल्पनाओं की जाँच — यह हर जगह काम आता है जहाँ अनिश्चित प्रमाण से विश्वास अद्यतन होते हैं।
कहाँ से आया
यह विचार, जिसे 18वीं सदी के रेवरेंड थॉमस बेज़ ने मरणोपरांत छोड़ा था, लाप्लास द्वारा विकसित किया गया। लंबे समय तक विवादित रहने के बाद, आज यह सांख्यिकी और कृत्रिम बुद्धिमत्ता का केंद्रीय ढाँचा है।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
एक अत्यंत सटीक जाँच पॉज़िटिव आने पर भी बहुत दुर्लभ बीमारी होने की संभावना कम क्यों रहती है?
- क्योंकि जाँच ख़राब है
- क्योंकि बड़ा स्वस्थ बहुमत कई झूठे पॉज़िटिव पैदा करता है✓
- क्योंकि जाँच की संवेदनशीलता कम है
- क्योंकि बीमारी आम है
अभ्यास
P(A)=0.5, P(B|A)=0.8, P(B|¬A)=0.4 दिए जाने पर, P(A|B) ज्ञात करें।
उत्तर: 0.667
- P(B) = 0.5·0.8 + 0.5·0.4 = 0.4 + 0.2 = 0.6
- P(A|B) = 0.4 / 0.6 ≈ 0.667
मुख्य बात: हर सभी रास्तों में प्रमाण की प्रायिकता जोड़ता है।
व्यापकता P(D)=0.01, संवेदनशीलता P(+|D)=0.99, झूठा पॉज़िटिव P(+|स्वस्थ)=0.05। पॉज़िटिव मिलने पर P(D|+) ज्ञात करें।
उत्तर: 0.167
- P(+) = 0.99·0.01 + 0.05·0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594
- P(D|+) = 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.167
मुख्य बात: दुर्लभ बीमारी के लिए पॉज़िटिव के बावजूद संख्या कम रहती है — यही बेस रेट की ताक़त है।
फ़ैक्टरी 1, 60% बल्ब बनाती है (2% ख़राब), फ़ैक्टरी 2, 40% बनाती है (5% ख़राब)। एक ख़राब बल्ब के फ़ैक्टरी 1 से आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
उत्तर: 0.375
- P(ख़राब) = 0.6·0.02 + 0.4·0.05 = 0.012 + 0.02 = 0.032
- P(फ़ैक्टरी 1 | ख़राब) = 0.012 / 0.032 = 0.375
मुख्य बात: उल्टी प्रायिकता बस हर रास्ते के योगदान की तुलना करती है।
एक दोस्त कहता है 'जाँच 95% सटीक है, इसलिए पॉज़िटिव का मतलब 95% बीमारी की संभावना है'। अपनी नोटबुक में समझाएँ यह क्यों ग़लत है।
उत्तर: undefined
- वे P(पॉज़िटिव|बीमारी) को P(बीमारी|पॉज़िटिव) से गड्डमड्ड करते हैं
- वे पूर्व-प्रायिकता (व्यापकता) को नज़रअंदाज़ करते हैं — बीमारी दुर्लभ हो तो जवाब तेज़ी से गिरता है
- बेज़ प्रमेय दोनों सशर्त प्रायिकताओं के बीच का पुल है, और इसे पूर्व-प्रायिकता चाहिए
मुख्य बात: सटीकता पश्च-प्रायिकता नहीं है — पूर्व-प्रायिकता के बिना जवाब नहीं मिल सकता।