द्विपद बंटन
“द्विपद = (सफलता pᵏ) × (विफलता) × (स्थान गिनती ₙCₖ)।”
सूत्र
P(X=k) = ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏकैसे पढ़ें: n स्वतंत्र प्रयासों में, जिनमें से हर एक की सफलता की प्रायिकता p है, ठीक k सफलताएँ मिलने की प्रायिकता
- n
- — स्वतंत्र प्रयासों की संख्या
- p
- — एक प्रयास में सफलता की प्रायिकता
- k
- — सफलताओं की संख्या (0 से n तक)
- ₙCₖ
- — n प्रयासों में k सफलताओं को रखने के तरीकों की संख्या
शुरुआत
10 सिक्का उछालों में ठीक 6 हेड आने की संभावना क्या है? अगर यह बस सफलता-या-विफलता की बार-बार पुनरावृत्ति है, तो एक सूत्र जवाब दे देता है।
सरल शब्दों में
यह उस प्रायिकता का बंटन है कि जब आप n स्वतंत्र प्रयास करते हैं, प्रत्येक में समान सफलता प्रायिकता p हो, तो k सफलताएँ मिलें।
अंतर्ज्ञान
यह तीन कारकों के गुणनफल की तस्वीर है — k सफलताओं की प्रायिकता pᵏ, n−k विफलताओं की प्रायिकता (1−p)ⁿ⁻ᵏ, और सफलताएँ किन-किन क्रमों में आ सकती हैं इसकी संख्या, ₙCₖ। क्रम को नज़रअंदाज़ करेंगे तो प्रायिकता चूक जाएगी, इसलिए आप स्थानों को संयोजन से गिनकर गुणा करते हैं।
कैसे बनता है
एक विशेष क्रम (मान लें सफलता-सफलता-विफलता…) की प्रायिकता pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ है। ऐसे ₙCₖ क्रम होते हैं, इसलिए इन्हें जोड़ने पर गुणांक ₙCₖ जुड़ जाता है। इस बंटन का माध्य np है — 'प्रयासों की संख्या × सफलता प्रायिकता'।
उदाहरण
तीन सिक्का उछाल (p=1/2), 2 हेड आने की प्रायिकता: ₃C₂·(1/2)²·(1/2)¹ = 3·(1/8) = 3/8। हेड के लिए 3 स्थान हैं, इसलिए गुणांक 3 है।
आम ग़लतफ़हमी
द्विपद बंटन तभी लागू होता है जब प्रयास 'स्वतंत्र' हों और सफलता प्रायिकता p 'स्थिर' हो। बिना प्रतिस्थापन के निकालना हर बार प्रायिकता बदल देता है, इसलिए वह द्विपद नहीं है।
कहाँ उपयोग होता है
गुणवत्ता नियंत्रण में दोष गिनना, सर्वेक्षण में हाँ-मतदाताओं की संख्या, क्लिनिकल ट्रायल में प्रतिक्रिया देने वालों की संख्या, खेलों में जीत की संख्या का अनुमान — कोई भी आँकड़ा जो 'सफलता/विफलता की पुनरावृत्ति' करता है।
कहाँ से आया
बार-बार सफलता/विफलता प्रयासों (बर्नूली प्रयास) का नाम 1600 के दशक में जैकब बर्नूली से आया, और उनके 'बड़ी संख्याओं के नियम' के साथ यह प्रायिकता का आधारस्तंभ बन गया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
2 सिक्का उछालों में 2 हेड आने की प्रायिकता क्या है? (p=1/2)
- 1/4✓
- 1/2
- 1/8
- 3/8
अभ्यास
3 सिक्का उछालों में ठीक 2 हेड आने की प्रायिकता दशमलव में ज्ञात करें। (p=1/2)
उत्तर: 0.375
- ₃C₂·(1/2)²·(1/2)¹ = 3·(1/8)
- = 3/8 = 0.375
मुख्य बात: स्थान गिनती ₃C₂=3 भूलें नहीं।
n=5, p=0.5 वाले द्विपद बंटन का माध्य np ज्ञात करें।
उत्तर: 2.5
- माध्य = np = 5·0.5
- = 2.5
मुख्य बात: द्विपद बंटन का माध्य हमेशा np होता है।
एक पासे को एक बार फेंकने पर, 6 आने (सफलता) की प्रायिकता दशमलव में ज्ञात करें। (n=1, p=1/6)
उत्तर: 0.167
- ₁C₁·(1/6)¹·(5/6)⁰ = 1/6
- ≈ 0.167
मुख्य बात: n=1 होने पर द्विपद बंटन एक ही सफलता-प्रायिकता तक सिमट जाता है।
समझाएँ कि P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=n)=1 क्यों होता है।
उत्तर: undefined
- सफलताओं की संख्या 0 से n में से कोई एक होनी ही चाहिए
- हर स्थिति को जोड़ने से कुछ भी छूटता नहीं
- कुल प्रायिकता हमेशा 1 होती है
मुख्य बात: सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताएँ जोड़ने पर 1 बनती हैं।