मार्कोव श्रृंखला (Markov Chains)
“मार्कोव श्रृंखला स्मृतिहीन गति है — आगे क्या होगा यह तय करने के लिए बस 'अभी आप कहाँ हैं' जानना काफी है।”
सूत्र
P(Xₙ₊₁ | X₀…Xₙ) = P(Xₙ₊₁ | Xₙ); πP = πकैसे पढ़ें: आप आगे कहाँ जाएँगे, यह सिर्फ 'अभी आप कहाँ हैं' पर निर्भर करता है, न कि आप यहाँ तक कैसे पहुँचे उस अतीत के रास्ते पर
- Xₙ
- — चरण n पर स्थिति (position)
- P
- — संक्रमण आव्यूह (transition matrix) — हर स्थिति से अगली स्थिति में जाने की प्रायिकताओं की तालिका
- π
- — स्थिर वितरण (stationary distribution) — हर स्थिति में लंबे समय में बिताए गए समय का अनुपात
शुरुआत
भविष्य का अनुमान लगाने के लिए आपको पूरा अतीत जानने की ज़रूरत नहीं — मार्कोव श्रृंखला एक स्मृतिहीन (memoryless) दुनिया है जहाँ बस 'अभी आप कहाँ हैं' जानना काफी है।
सरल शब्दों में
यह एक ऐसी प्रक्रिया है जो स्थितियों के बीच यादृच्छिक रूप से उछलती है, जहाँ अगली स्थिति की प्रायिकता सिर्फ वर्तमान स्थिति पर निर्भर करती है, न कि वहाँ तक पहुँचने के रास्ते पर। यही 'स्मृतिहीनता' मार्कोव गुण (Markov property) कहलाती है।
अंतर्ज्ञान
एक बोर्ड-गेम के मोहरे की सोचें — अगला खाना आपके वर्तमान खाने और पासे की चाल से तय होता है; आप कैसे वहाँ पहुँचे इससे फर्क नहीं पड़ता। मौसम मॉडल इसका क्लासिक उदाहरण है: बस 'आज धूप है/बारिश है' जानने से कल की प्रायिकताएँ तय हो जाती हैं, और पिछले हफ्ते को भुलाया जा सकता है। हर स्थिति से अगली में जाने की प्रायिकता को एक तालिका (संक्रमण आव्यूह) के रूप में लिखें, और पूरा सिस्टम निर्दिष्ट हो जाता है।
कैसे बनता है
मुख्य औज़ार संक्रमण आव्यूह P है — हर पंक्ति एक 'वर्तमान स्थिति' है, इसकी प्रविष्टियाँ अगली स्थिति में जाने की प्रायिकताएँ हैं, इसलिए हर पंक्ति का जोड़ 1 होता है। वर्तमान वितरण को P से गुणा करने पर एक कदम बाद का वितरण मिलता है। इसे काफी देर दोहराने पर यह एक स्थिर वितरण π पर टिक जाता है जो अब नहीं बदलता, जिसे πP = π हल करके निकाला जाता है।
उदाहरण
मौसम: धूप→धूप 0.8, धूप→बारिश 0.2, बारिश→धूप 0.6, बारिश→बारिश 0.4, यानी P=[[0.8,0.2],[0.6,0.4]]। πP=π को संतुष्ट करने वाले स्थिर π=(s,r), जहाँ s+r=1: s=0.8s+0.6r → 0.2s=0.6r → s=3r। s+r=1 के साथ मिलाने पर: r=0.25, s=0.75। लंबे समय में, 75% धूप वाले दिन, 25% बारिश वाले।
आम ग़लतफ़हमी
'स्मृतिहीन' का मतलब यह नहीं कि 'अतीत का परिणाम पर कोई असर नहीं' — अतीत पहले ही वर्तमान स्थिति के भीतर संक्षेपित हो चुका है। बस, एक बार वर्तमान जान लेने पर, पहले के विवरण कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं जोड़ते।
कहाँ उपयोग होता है
गूगल पेजरैंक (वेब सर्फिंग को मार्कोव श्रृंखला के रूप में देखना), वाक् और टेक्स्ट पूर्वानुमान, वित्त में क्रेडिट-रेटिंग संक्रमण, जीन-अनुक्रम विश्लेषण, प्रबलन अधिगम (reinforcement learning) में स्थिति संक्रमण — जहाँ भी अगला कदम केवल वर्तमान स्थिति से प्रायिकता के आधार पर तय होता है।
कहाँ से आया
1906 में आंद्रेई मार्कोव ने इसे तब प्रस्तुत किया जब वे यह जाँच रहे थे कि क्या बड़ी संख्याओं का नियम स्वतंत्रता के बिना भी लागू होता है। उन्होंने रूसी कविता (पुश्किन) में अक्षरों की श्रृंखला का विश्लेषण एक ठोस उदाहरण के रूप में किया।
पूर्वापेक्षाएँ
त्वरित जाँच
मार्कोव श्रृंखला में, अगली स्थिति की प्रायिकता किस पर निर्भर करती है?
- देखी गई सभी पिछली स्थितियों पर
- सिर्फ वर्तमान स्थिति पर✓
- सिर्फ शुरुआती स्थिति पर
- किसी पर भी नहीं
अभ्यास
आज धूप है और P(धूप→बारिश) = 0.3। मार्कोव श्रृंखला में, कल बारिश होने की प्रायिकता क्या है?
उत्तर: 0.3
- अगली स्थिति सिर्फ वर्तमान स्थिति पर निर्भर करती है (आज = धूप)
- धूप→बारिश की प्रायिकता बस 0.3 है
मुख्य बात: एक-कदम का पूर्वानुमान बस वर्तमान स्थिति से संक्रमण प्रायिकता पढ़ लेता है।
संक्रमण आव्यूह P=[[0.5,0.5],[0.5,0.5]] के लिए, स्थिर वितरण में स्थिति A का अनुपात निकालें।
उत्तर: 0.5
- किसी भी स्थिति से अगली A 0.5, B 0.5 है
- पूर्ण सममिति से स्थिर वितरण (0.5, 0.5) है
- स्थिति A का अनुपात = 0.5
मुख्य बात: एक सममित संक्रमण आव्यूह का स्थिर वितरण एकसमान होता है — हर एक का 0.5।
P=[[0.8,0.2],[0.6,0.4]] के लिए, स्थिर वितरण में स्थिति 1 (धूप) का दीर्घकालीन अनुपात s निकालें।
उत्तर: 0.75
- πP=π से: s = 0.8s + 0.6r
- 0.2s = 0.6r → s = 3r
- s + r = 1 → 3r + r = 1 → r = 0.25, s = 0.75
मुख्य बात: दोनों समीकरणों को साथ हल करें — πP=π और कुल = 1 — तो स्थिर वितरण मिलता है।
अपनी नोटबुक में समझाएँ कि 'मार्कोव श्रृंखला स्मृतिहीन है' और 'अतीत निरर्थक है' अलग-अलग बातें क्यों हैं।
उत्तर: undefined
- अगली प्रायिकता सिर्फ वर्तमान स्थिति दिए जाने पर तय होती है (स्मृतिहीनता)
- पर वर्तमान स्थिति खुद अतीत से बनी थी
- इसलिए अतीत पहले ही 'अभी' नाम के संक्षेप में समाया हुआ है — वर्तमान दिए जाने पर, पहले के विवरण अतिरेक (redundant) हैं
मुख्य बात: स्मृतिहीनता = 'वर्तमान ही अतीत का पर्याप्त संक्षेप है' — अतीत निरर्थक नहीं है।