प्रायिकता और सांख्यिकीconceptintermediate

सामान्य वितरण

“सामान्य वितरण है 68-95-99.7 — माध्य से जितना दूर, उतनी ही तेज़ी से दुर्लभ।”

सूत्र

P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68

कैसे पढ़ें: सामान्य वितरण में, लगभग 68% डेटा माध्य μ के एक मानक विचलन σ के भीतर आता है

μ: — माध्य — वितरण का केंद्र (शिखर की स्थिति)
σ: — मानक विचलन — डेटा कितना फैला हुआ है (चौड़ाई)
68%: — माध्य के ±1σ के भीतर पड़ने वाले डेटा का अनुपात

शुरुआत

ऊँचाई, परीक्षा के अंक, मापन त्रुटियाँ — प्रकृति और समाज के अनगिनत डेटा मानो सहमति से एक ही 'घंटी के आकार' में जमा हो जाते हैं। यही सामान्य वितरण है।

सरल शब्दों में

अपने माध्य के चारों ओर सममित, घंटी के आकार का वितरण। डेटा माध्य के पास सबसे घना होता है और दूर जाने पर तेज़ी से पतला होता जाता है।

अंतर्ज्ञान

जब कई छोटे स्वतंत्र कारण संयोगवश जमा होते हैं, तो नतीजे घंटी के आकार में इकट्ठे होते हैं। केंद्र (माध्य μ) शिखर है, और फैलाव (मानक विचलन σ) घंटी की चौड़ाई है। छोटा σ ऊँचा और संकरा होता है, बड़ा σ चौड़ा और चपटा होता है — μ स्थिति तय करता है, σ फैलाव तय करता है।

कैसे बनता है

मुख्य बात है '68-95-99.7 का नियम'। लगभग 68% डेटा माध्य के ±1σ के भीतर, लगभग 95% ±2σ के भीतर, और लगभग 99.7% ±3σ के भीतर होता है। बस ये तीन संख्याएँ याद रखें और आप किसी भी सामान्य वितरण का अनुमान लगा सकते हैं।

उदाहरण

माध्य 60 और मानक विचलन 10 वाली एक परीक्षा में: लगभग 68% विद्यार्थी 50–70 (±1σ) अंक पाते हैं, और लगभग 95% विद्यार्थी 40–80 (±2σ) अंक पाते हैं।

आम ग़लतफ़हमी

हर डेटा सामान्य नहीं होता। आय जैसा दायीं ओर तिरछा डेटा घंटी के आकार का नहीं होता। और ±2σ 95% को कवर करता है, 100% को नहीं — 5% अब भी बाहर रहता है।

कहाँ उपयोग होता है

वक्र पर ग्रेडिंग (मानक स्कोर), गुणवत्ता प्रबंधन में नियंत्रण सीमाएँ, सर्वेक्षणों में त्रुटि का दायरा, वित्तीय जोख़िम मापन — सांख्यिकीय अनुमान का बुनियादी पैमाना।

कहाँ से आया

गाउस ने मापन त्रुटियों के वितरण का अध्ययन करते हुए इस वक्र को परिष्कृत किया, इसलिए इसे 'गाउसीय वितरण' भी कहा जाता है। पुराने जर्मन 10-मार्क नोट पर भी यही घंटी वक्र छपा था।

पूर्वापेक्षाएँ

केंद्रीय प्रवृत्ति के माप फैलाव: प्रसरण और मानक विचलन

त्वरित जाँच

सामान्य वितरण में, माध्य के ±1 मानक विचलन के भीतर लगभग कितना डेटा होता है?

50%
68%✓
95%
99.7%

अभ्यास

सामान्य वितरण में, ±2 मानक विचलन के भीतर लगभग कितना प्रतिशत डेटा होता है?

उत्तर: 95

हल:

68-95-99.7 नियम से, ±2σ
लगभग 95%

मुख्य बात: ±1σ→68%, ±2σ→95%, ±3σ→99.7%।

माध्य 100 और मानक विचलन 15 वाले सामान्य वितरण में, 85 और 115 के बीच लगभग कितना प्रतिशत डेटा है?

उत्तर: 68

हल:

85 से 115 है 100 ± 15, यानी माध्य ±1σ
लगभग 68%

मुख्य बात: ±1σ अंतराल तुरंत 68% होता है।

माध्य 50 और मानक विचलन 5 वाले सामान्य वितरण में, 40 और 60 के बीच लगभग कितना प्रतिशत डेटा है?